《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

5. 用简便方法计算：
(1) $101^{2}-99^{2}$；
(2) $53.5^{2}×4 - 46.5^{2}×4$.

答案： （1）400；（2）2800

6. 实践与探索：
如图,边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形,把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形(如图 2 所示).
(1) 上述操作能验证的等式是____. (请选择正确的一个)
A. $a^{2}-b^{2}= (a + b)(a - b)$
B. $a^{2}-2ab + b^{2}= (a - b)^{2}$
C. $a^{2}+ab = a(a + b)$
(2) 请应用 (1) 中的等式完成下列各题：
① $2023^{2}-2024×2022$；
② 计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{99^{2}})×(1-\frac{1}{100^{2}})$.

(1) A
(2) ① 1；② 101/200

答案： （1）A；（2）①1；②101/200

7. (2024·云南) 分解因式：$a^{3}-9a= $(A)
A.$a(a - 3)(a + 3)$
B.$a(a^{2}+9)$
C.$(a - 3)(a + 3)$
D.$a^{2}(a - 9)$

答案： A

8. (2024·德州) 分解因式：$x^{2}-4= $(x+2)(x−2).

答案： (x+2)(x−2)

9. (2024·安徽) 数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数 $N$ 能否表示为 $x^{2}-y^{2}$($x$,$y$ 均为自然数)”的问题.
(1) 指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下($n$ 为正整数)：

按上表规律,完成下列问题：
① $24 = ($7$)^{2}-($5$)^{2}$；
② $4n= $(n+1)²−(n−1)².
(2) 兴趣小组还猜测：像 $2$,$6$,$10$,$14$,… 这些形如 $4n - 2$($n$ 为正整数)的正整数 $N$ 不能表示为 $x^{2}-y^{2}$($x$,$y$ 均为自然数). 师生一起研讨,分析过程如下：
假设 $4n - 2 = x^{2}-y^{2}$,其中 $x$,$y$ 均为自然数.
分下列三种情形分析：
① 若 $x$,$y$ 均为偶数,设 $x = 2k$,$y = 2m$,其中 $k$,$m$ 均为自然数,
则 $x^{2}-y^{2}= (2k)^{2}-(2m)^{2}= 4(k^{2}-m^{2})$ 为 $4$ 的倍数.
而 $4n - 2$ 不是 $4$ 的倍数,矛盾. 故 $x$,$y$ 不可能均为偶数.
② 若 $x$,$y$ 均为奇数,设 $x = 2k + 1$,$y = 2m + 1$,其中 $k$,$m$ 均为自然数,
则 $x^{2}-y^{2}= (2k + 1)^{2}-(2m + 1)^{2}= $4(k²−m²+k−m)为 $4$ 的倍数.
而 $4n - 2$ 不是 $4$ 的倍数,矛盾. 故 $x$,$y$ 不可能均为奇数.
③ 若 $x$,$y$ 一个是奇数一个是偶数,则 $x^{2}-y^{2}$ 为奇数.
而 $4n - 2$ 是偶数,矛盾. 故 $x$,$y$ 不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.

答案： （1）①7，5；②(n+1)²−(n−1)²；（2）4(k²−m²+k−m)