《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

11. 在$\triangle ABC$中,$AB\neq AC$,$\angle ABC与\angle ACB的平分线交于点O$,$MN经过点O$,分别与$AB$,$AC相交于点M$,$N$,且$MN// BC$。
(1) 如图 1,直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：$MN与BM$,$CN$之间有怎样的数量关系,并说明理由。
(2) 如图 2,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O$,过点$O作OM// BC交AB于点M$,交$AC于点N$。图中有等腰三角形吗？如果有,分别指出它们。写出$MN与BM$,$CN$之间的数量关系,并说明理由。

答案： 解:
(1) BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB.
∵MN//BC,
∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB,
∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,
∴BM=OM,CN=ON,
∴△BMO，△CNO是等腰三角形,即图中等腰三角形有△BMO，△CNO.MN与BM,CN之间的关系是MN=BN+CN.
(2) BQ平分∠ABC，CO平分∠ACB,
∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCH.
∵OM//BC,
∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCH.
∴∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO,
∴BM=OM,CN=ON,
∴△BMO，△CNO是等腰三角形,即图中等腰三角形有△BMO,△CNO.MN与BM,CN之间的关系是MN=BN−CN.

12. (2024·重庆)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD平分\angle ABC交AC于点D$。若$BC = 2$,则$AD$的长度为____2。

答案： 2