《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 36^{\circ}$,$\angle ABC = 110^{\circ}$,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$,$DE = DF$. 求$\angle ADB$的度数.

答案： 解：
∵∠C = 36°，∠ABC = 110°，
∴∠BAC = 180° - 36° - 110° = 34°.
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE = DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD = 17°.
∴∠ADB = 180° - 110° - 17° = 53°.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$边上,$\angle BAD = 100^{\circ}$,$\angle ABC的平分线交AC于点E$,过点$E作EF\perp AB$,垂足为$F$,且$\angle AEF = 50^{\circ}$,连接$DE$.
(1) 求证：$AE平分\angle FAD$.
(2) 求证：$DE平分\angle ADC$.
(3) 若$AB = 7$,$AD = 4$,$CD = 8$,$S_{\triangle ACD}= 15$,求$\triangle ABE$的面积.

答案： （1）证明：
∵EF⊥AB，
∴∠AFE = 90°.
∵∠AEF = 50°，
∴∠EAF = 90° - ∠AEF = 90° - 50° = 40°.
∵∠BAD = 100°，
∴∠DAE = 180° - 100° - 40° = 40° = ∠EAF，
∴AE平分∠FAD.（2）证明：过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥BC于点N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF = EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE = EM，
∴EM = EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC.（3）解：
∵S△ADC = S△ADE + S△CDE，
∴$\frac{1}{2}$AD·EM + $\frac{1}{2}$CD·EN = 15，
∴$\frac{1}{2}$(AD + CD)·EM = 15，
∴$\frac{1}{2}$×(4 + 8)×EM = 15，
∴EM = $\frac{5}{2}$，
∴EF = $\frac{5}{2}$，
∴S△ABE = $\frac{1}{2}$AB·EF = $\frac{1}{2}$×7×$\frac{5}{2}$ = $\frac{35}{4}$.