《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

7. 如图,已知 AB = AC,DB = DC,P 是 AD 上一点,求证：∠ABP = ∠ACP.

答案： 证明:连接BC,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB. 又
∵BD=CD,两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB.
∴∠ABC−∠PBC=∠ACB−∠PCB，
∴∠ABP=∠ACP.

8. 如图所示,MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC.
(1)若△APQ 的周长为 12,求 BC 的长.
(2)若∠BAC = 105°,求∠PAQ 的度数.

答案： （1）
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ.
∴△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵△APQ的周长为12，
∴BC=12.（2）
∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ.
∵∠BAC=105°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−105°=75°.
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=105°−75°=30°.

9. (2021·河北)如图,直线 l,m 相交于点 O,P 为这两条直线外一点,且 OP = 2.8. 若点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点$ P_1,P_2,$则$ P_1,P_2 $之间的距离可能是(B)

A.0
B.5
C.6
D.7

答案： B

10. (2024·镇江)如图,△ABC 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D,连接 BD. 若 AC = 8,CD = 5,则 BD = 3.

答案： 3