《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

4. 如图,$OA = OB$,$AC = BD$,$OA ⊥ AC$,$OB ⊥ BD$,$OM ⊥ CD于点M$,求证：$OM平分∠AOB$.

答案： 证明：连接OC，OD，
∵OA⊥AC，OB⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.在△OAC和△OBD中，{AO=BO,∠A=∠B,AC=BD}，
∴△OAC≌△OBD（SAS）.
∴∠AOC=∠BOD，OC=OD.
∵OM⊥CD，
∴∠OMC=∠OMD=90°.在Rt△OMC和Rt△OMD中，{OC=OD,OM=OM}，
∴Rt△OMC≌Rt△OMD（HL）.
∴∠COM=∠DOM.
∴∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM，
∴∠AOM=∠BOM，即OM平分∠AOB.

5. 如图,在$△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AD是∠BAC$的平分线,$DE ⊥ AB交AB于点E$,点$F在AC$上,$BD = DF$.
(1) 求证：$CF = EB$.
(2) 若$AF = 2$,$EB = 1$,求$AB$的长.

答案： （1）证明：
∵∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∴∠DEA=∠C=90°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD.
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED，
∴DC=DE.
∵BD=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB.
（2）解：
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠C=90°.在Rt△DEB和Rt△DCF中，{BD=FD,ED=CD}，
∴Rt△DEB≌Rt△DCF（HL），
∴EB=CF.在Rt△ADE和Rt△ADC中，{AD=AD,ED=CD}，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE=AC，
∴AB - EB=AF+CF，
∴AB=AF+CF+EB=AF+2EB=2+2=4.

6. (2022·谷城) 如图 1,在平面直角坐标系中,$P(4,4)$.
(1) 点$A在x$轴的正半轴运动,点$B在y$轴的正半轴上,$PA = PB$.
①求证：$PA ⊥ PB$；
②求$OA + OB$的值.
(2) 点$A在x$轴的正半轴上运动,点$B在y$轴的负半轴上,$PA = PB$.
①求$OA - OB$的值；
②若点$A的坐标为(10,0)$,求点$B$的坐标.

答案：
（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，
∴PE⊥PF.
∵P（4，4），
∴PE=PF=4.在Rt△APE和Rt△BPF中，{PA=PB,PE=PF}，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，
∴PA⊥PB.
②解：
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF.
∵OA=OE+AE，OB=OF - BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF - BF=OE+OF=4+4=8.
（2）解：①如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，同理得Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴AE=BF.
∵AE=OA - OE=OA - 4，BF=OB+OF=OB+4，
∴OA - 4=OB+4.
∴OA - OB=8.
②
∵PE=PF=4，PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=OF=4.
∵A（10，0），
∴OA=10.
∴AE=OA - OE=10 - 4=6.
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF=6.
∴OB=BF - OF=6 - 4=2.
∴点B的坐标为（0， - 2）.