《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

1. 如图，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle C = 15^{\circ}$，线段 $AC$ 的垂直平分线 $DE$ 交 $AC$ 于点 $D$，交 $BC$ 于点 $E$，$D$ 为垂足，$CE = 12\mathrm{cm}$，则 $AB=$（B）

A.$5\mathrm{cm}$
B.$6\mathrm{cm}$
C.$7\mathrm{cm}$
D.不能确定

答案： B

2. 2023 年 7 月 28 日，世界大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地时，融合了许多几何元素，其中有一个等腰三角形的模型，它的顶角为 $120^{\circ}$，腰长为 $18\mathrm{cm}$，则底边 上的高为（B）
A.$4\mathrm{cm}$
B.$9\mathrm{cm}$
C.$10\mathrm{cm}$
D.$18\mathrm{cm}$

答案： B

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC$ 与 $\angle ACB$ 的平分线交于点 $D$，过点 $D$ 的直线 $EF// BC$，分别交 $AC$，$AB$ 于点 $E$，$F$，若 $\triangle AEF$ 的周长为 $18$，则边 $AC$ 的长为6.

答案： 6

4. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，$AD\perp BC$ 于点 $D$，点 $F$ 在 $BC$ 的垂直平分线上.
（1）求证：$\triangle AEF$ 是等边三角形.
（2）若 $BD = 1$，求 $DC$ 的长.

答案： （1）证明：
∵点 F 在 BC 的垂直平分线上，∠C=30°，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠C=30°，
∴∠AFE=∠FBC+∠C=60°.
∵AD⊥BC 于点 D，∠FBC=30°，
∴∠BED=90° - ∠FBC=60°，
∴∠AEF=∠BED=60°，
∴△AEF 为等边三角形.
（2）解：在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AD⊥BC 于点 D，
∴∠BAD=90° - ∠ABC=30°，在 Rt△ABD 中，BD=1，∠BAD=30°，
∴AB=2BD=2，在 Rt△ABC 中，AB=2，∠C=30°，
∴BC=2AB=4，
∴CD=BC - BD=4 - 1=3.