《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

【例】如图 14.3 - 5 所示,$OD$ 平分 $\angle AOB$,$OA = OB$,$P$ 是 $OD$ 上一点,$PM \perp BD$ 于点 $M$,$PN \perp AD$ 于点 $N$. 求证：$PM = PN$.
【点拨】由已知容易求证 $\triangle OBD \cong \triangle OAD$($SAS$),可得 $\angle BDP = \angle ADP$,则可证 $PM = PN$. 本题主要考查角的平分线性质定理,由已知能够证明 $\triangle OBD \cong \triangle OAD$ 是解决问题的关键.

答案： 证明：
∵OD 平分∠AOB，
∴∠1=∠2. 在△OBD和△OAD 中，$\begin{cases} OB=OA, \\ ∠1=∠2, \\ OD=OD, \end{cases}$
∴△OBD≌△OAD（SAS），
∴∠3=∠4.
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN.

1. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BE$ 平分 $\angle ABC$,$DE \perp AB$ 于点 $D$. 若 $AC = 5\ cm$,则 $AE + DE = $(D)

A.$2\ cm$
B.$3\ cm$
C.$4\ cm$
D.$5\ cm$

答案： D

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle BCD = 90^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$AB = 6$,$BC = 9$,$CD = 4$,则四边形 $ABCD$ 的面积是(C)

A.24
B.28
C.30
D.42

答案： C

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$DE \perp AB$ 于点 $E$,点 $F$ 在 $AC$ 上,$BD = DF$. 求证：
(1) $CF = EB$.
(2) $AF + EB = AE$.

答案： （1）
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE. 在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB. （2）在 Rt△DCA 和 Rt△DEA 中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，即 AF+BE=AE.