《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BD $ 是 $ AC $ 边上的中线.
(1) 尺规作图：过点 $ A $ 作 $ AE // BC $ 交 $ BD $ 的延长线于点 $ E $.（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 图中一定与 $ AE $ 相等的线段为____.

答案：
（1）
（2）CB=AE.

5. 如图，$ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，且 $ AB = DC $，$ AC = DB $. 求证：$ \angle ABO = \angle DCO $.

答案： 证明：连接BC，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠A=∠D.
∵∠AOB=∠DOC，
∴∠ABO=∠DCO.

6. 如图，$ D $ 是 $ BC $ 上一点，$ AB = AD $，$ BC = DE $.
(1) 在条件① $ \angle C = \angle E $，② $ AC = AE $ 中，选择②可得△ABC≌△ADE.
(2) 在（1）的条件下，求证：$ \angle CDE = \angle BAD $.

证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC.
∴∠BAD=∠EAC.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C.
∵∠AOE=∠DOC，∠E+∠AOE+∠EAC=180°，∠C+∠DOC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠EAC.
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠CDE=∠BAD.

答案： （1）解：
∵在△ABC和△ADE中，BC=DE，AB=AD，AC=AE，
∴△ABC≌△ADE（SSS）.
（2）证明：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC.
∴∠BAD=∠EAC.
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C.
∵∠AOE=∠DOC，∠E+∠AOE+∠EAC=180°，∠C+∠DOC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠EAC.
∵∠BAD=∠EAC，
∴∠CDE=∠BAD.

7. （2024·德州）如图，$ C $ 是 $ AB $ 的中点，且 $ CD = BE $，请添加一个条件AD=CE（答案不唯一），使得 $ \triangle ACD \cong \triangle CBE $.

答案： AD=CE（答案不唯一）