《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

11. 在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 120°,AD⊥BC,垂足为 G,且 AD = AB. ∠EDF = 60°,其两边分别交边 AB,AC 于点 E,F. 求证：
(1)△ABD 是等边三角形.
(2)BE = AF.

答案： 证明：（1）
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°.
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形.
（2）
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF.
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF.在△BDE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}∠DBE=∠DAF=60°,\\ BD=AD,\\ ∠BDE=∠ADF,\end{array}\right.$
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF.

12. 如图,在△ABC 中,AB = BC = AC = 12 cm,现有两点 M,N 分别从点 A 、点 B 同时出发,沿三角形的边运动,已知点 M 的速度为 1 cm/s,点 N 的速度为 2 cm/s. 当点 N 第一次到达 B 点时,M,N 同时停止运动.
(1)点 M,N 运动几秒时,两点重合？
(2)点 M,N 运动几秒时,可得到等边三角形 AMN？
(3)当点 M,N 在 BC 边上运动时,能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在,请求出此时 M,N 运动的时间.

答案： 解：（1）设点M，N运动x s时，M，N两点重合，x·1+12=2x，解得x=12. （2）设点M，N运动t s时，可得到等边三角形AMN，如图1，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t=12-2t，解得t=4.
∴点M，N运动4 s时，可得到等边三角形AMN. （3）当点M，N在BC边上运动时，可得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12 s时M，N两点重合，恰好在C处，如图2，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB.
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠AMC=∠ANB,\\ ∠C=∠B,\\ AC=AB,\end{array}\right.$
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN.设当点M，N在BC边上运动时，M，N运动的时间为y s时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y.解得y=16，故假设成立.
∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16 s.