《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

5. 已知 $(a + b)^2 = 7$,$(a - b)^2 = 4$,求 $a^2 + b^2$ 和 $ab$ 的值。

答案： $a^{2}+b^{2}=\frac{11}{2}$，$ab=\frac{3}{4}$．

6. 观察下列关于自然数的等式：
$3^2 - 4×1^2 = 5$ ①；$5^2 - 4×2^2 = 9$ ②；$7^2 - 4×3^2 = 13$ ③…
根据上述规律解决下列问题：
(1) 完成第 4 个等式：$9^2 - 4×$4$^2 = $17。
(2) 写出你猜想的第 $n$ 个等式(用含 $n$ 的式子表示),并验证其正确性。
第n个等式为$(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1$，左边$=(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n^{2}+4n+1-4n^{2}=4n+1$，右边$=4n+1$，左边=右边，$\therefore (2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1$．

答案： （1）4，17；（2）第n个等式为$(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1$，左边$=(2n+1)^{2}-4n^{2}=4n^{2}+4n+1-4n^{2}=4n+1$，右边$=4n+1$，左边=右边，$\therefore (2n+1)^{2}-4n^{2}=4n+1$．

7. 请认真观察图形,解答下列问题：
(1) 根据图中条件,试用两种不同方法表示阴影部分的面积。
方法 1：$a^{2}+b^{2}$；方法 2：$(a+b)^{2}-2ab$。
(2) 从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$。
(3) 运用你所得到的结论,解决问题：已知 $(x + y)^2 = 25$,$\frac{1}{2}xy = 3$,求 $x^2 + y^2$ 的值。
13

答案： （1）方法1：$a^{2}+b^{2}$；方法2：$(a+b)^{2}-2ab$；（2）$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$；（3）13

8. (2024·成都)下列计算正确的是(D)
A.$(3x)^2 = 3x^2$
B.$3x + 3y = 6xy$
C.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$

答案： D

9. (2024·乐山)已知 $a - b = 3$,$ab = 10$,则 $a^2 + b^2 = $29。

答案： 29