《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

4. 如图,$O$ 是 $\triangle ABC$ 的两条角平分线 $BO$,$CO$ 的交点,过点 $O$ 作 $OD \perp BC$ 于点 $D$,$OD = 3$,若 $\triangle ABC$ 的周长是 24,求 $\triangle ABC$ 的面积.

答案： 解：作 OE⊥AC，OF⊥AB，连接 OA，垂足分别为 E，F.
∵OB，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD=OE=OF=3.
∵△ABC 的周长是 24，
∴$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OD\cdot BC+\frac{1}{2}OE\cdot AC+\frac{1}{2}OF\cdot AB=\frac{1}{2}OD\cdot (BC+AC+AB)=\frac{1}{2}×3×24=36$.

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$DG \perp AC$ 于点 $G$,点 $G$ 为 $AC$ 的中点,$DE \perp BA$ 于点 $E$,$DF \perp BC$ 于点 $F$. 求证：$AE = CF$.

答案： 证明：如图，连接 AD，CD，
∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF.
∵DG⊥AC，点 G 为 AC 的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°，
∴在△AGD和△CGD 中，$\begin{cases} AG=GD, \\ ∠AGD=∠CGD=90°, \\ DG=DG, \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD. 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，$\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF.

6. (2024 - 青海) 如图,$OC$ 平分 $\angle AOB$,点 $P$ 在 $OC$ 上,$PD \perp OB$,$PD = 2$,则点 $P$ 到 $OA$ 的距离是(C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C