《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

7. 使等式$\frac{7}{x + 2}= \frac{7x}{x^{2}+2x}$自左到右变形成立的条件是(C)
A.$x\lt0$
B.$x\gt0$
C.$x\neq0且x\neq - 2$
D.$x\neq0且x\neq7$

答案： C

8. 写出下列等式中未知的分子或分母。
(1) $\frac{b}{a}= \frac{b^{2}}{(ab)}$ ($ab\neq0$)；
(2) $\frac{a - b}{a + b}= \frac{($a^2-2ab+b^2$)}{a^{2}-b^{2}}$ ($a^{2}\neq b^{2}$)；
(3) $\frac{x}{x^{2}+2x}= \frac{x}{x(x+2)}= \frac{1}{(x+2)}$；
(4) $\frac{2 - x}{-x^{2}+5}= \frac{(x-2)}{x^{2}-5}$；
(5) $\frac{2x^{2}+2xy}{x + y}= \frac{2x}{(1)}$；
(6) $\frac{x^{2}+2xy + y^{2}}{x^{2}-y^{2}}= $$\frac{x+y}{x-y}$。

答案： （1）$ab$ （2）$a^2-2ab+b^2$ （3）$x+2$ $x+2$ （4）$x-2$ （5）1 （6）$\frac{x+y}{x-y}$

9. 将分式$\frac{0.3a + 0.5b}{0.2a - b}$的分子和分母中各项系数都化为整数,且分式的值不变,那么变形后的分式是$\frac{3a+5b}{2a-10b}$。

答案： $\frac{3a+5b}{2a-10b}$

10. 化简$\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-8x + 16}=$$\frac{x}{x-4}$；$\frac{1 - x}{x^{2}-1}$化简后的结果是$-\frac{1}{x+1}$。

答案： $\frac{x}{x-4}$ $-\frac{1}{x+1}$

11. 请写出一个化简结果为$\frac{x + 1}{x - 1}$的分式：$\frac{2x+2}{2x-2}$。

答案： $\frac{2x+2}{2x-2}$

12. 等式$\frac{a}{a + 1}= \frac{a(a - 1)}{a^{2}-1}$成立的条件是$a≠±1$。

答案： $a≠±1$

13. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含“$-$”。
(1) $\frac{2x - 1}{-x + 1}=$$-\frac{2x-1}{x-1}$；
(2) $\frac{-x^{2}+2x - 1}{x - 2}=$$-\frac{x^2-2x+1}{x-2}$；
(3) $\frac{-x - 1}{-x^{2}-3x + 1}=$$\frac{x+1}{x^2+3x-1}$。

答案： （1）$-\frac{2x-1}{x-1}$ （2）$-\frac{x^2-2x+1}{x-2}$ （3）$\frac{x+1}{x^2+3x-1}$

14. 在初中数学学习阶段,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题。
材料一：在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一。所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的。
例：已知$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值。
解：$\because\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{4}$,$\therefore\frac{x^{2}+1}{x}= 4$,即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}= 4$。
$\therefore x+\frac{1}{x}= 4$,$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2= 16 - 2= 14$。
材料二：在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数“$k$”,将连等式变成几个值为$k$的等式,这样就可以通过适当变形解决问题。
例：若$2x = 3y = 4z$,且$xyz\neq0$,求$\frac{x}{y + z}$的值。
解：令$2x = 3y = 4z = k$ ($k\neq0$),则$x= \frac{k}{2}$,$y= \frac{k}{3}$,$z= \frac{k}{4}$,
$\therefore\frac{x}{y + z}= \frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}= \frac{6}{7}$。
根据材料解答问题：
(1) 已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}= \frac{1}{4}$,求$x+\frac{1}{x}$的值。
(2) 已知$\frac{a}{5}= \frac{b}{4}= \frac{c}{3}$ ($abc\neq0$),求$\frac{3b + 4c}{2a}$的值。

答案： 解：（1）$\because\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{1}{4}$，$\therefore\frac{x^2-x+1}{x}=4$. 即$x-1+\frac{1}{x}=4$，$\therefore x+\frac{1}{x}=5$. （2）设$\frac{a}{5}=\frac{b}{4}=\frac{c}{3}=k$，$\therefore a=5k$，$b=4k$，$c=3k$.$\therefore\frac{3b+4c}{2a}=\frac{12k+12k}{10k}=\frac{12}{5}$.