《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

7. 如图,$\angle AOB = 60^{\circ}$,$C是BO$延长线上一点,$OC = 12\mathrm{cm}$,动点$P从点C出发沿CB以2\mathrm{cm/s}$的速度移动,动点$Q从点O出发沿OA以1\mathrm{cm/s}$的速度移动,如果点$P$,$Q$同时出发,用$t$($\mathrm{s}$)表示移动的时间,当$t = $4或12$\mathrm{s}$时,$\triangle POQ$是等腰三角形。

答案： 4或12

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$AD\perp BD于点D$,$DE// AC交AB于点E$,若$AB = 8$,则$DE = $4。

答案： 4

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$D为边AC$上一点,且$BD平分\angle ABC$,过点$A作AE\perp BD于点E$。若$\angle ABC = 64^{\circ}$,$\angle C = 29^{\circ}$,$AB = 4$,$BC = 10$,求$AE$的长。

答案：
解:如图，延长AE交BC于点F.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABE=∠FBE.
在△ABE和△FBE中,
∠AEB=∠FEB=90°,
BE=BE,
∠ABE=∠FBE,
∴△ABE≌△FBE(ASA),
∴AE=EF,AB=BF=4,
∴∠BAF=∠BFA=$\frac{1}{2}$×(180°−64°)=58°.
∵∠C=29°,
∴∠CAF=∠AFB−∠C=29°,
∴∠CAF=∠C,
∴AF=CF.
∵BC=10,
∴CF=BC−BF=6,
∴AF=6,
∴AE=3.

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为CA$延长线上一点,且$DE\perp BC交AB于点F$。
(1) 求证：$\triangle ADF$是等腰三角形。
(2) 在(1)的条件下(如图 2),$F为AB$的中点。求证：$DF = 2FE$。

答案：
证明:
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵ED⊥BC,
∴∠D+∠C=90°, ∠B+∠BFE=90°,
∴∠D=∠BFE.
∵∠DFA=∠BFE,
∴∠D=∠AFD,
∴AD=AF,
∴△ADF是等腰三角形.
(2)过点A作AG⊥DE于点G,
∵AD=AF,AG⊥DF,
∴GF=$\frac{1}{2}$DF. 又
∵AG⊥DE,BE⊥DE,
∴∠AGF=∠BEF.又
∵F为AB的中点,
∴AF=BF. 在△AGF与△BEF中,∠AGF=∠BEF,∠AFG=∠BFE,AF=BF,
∴△AGF≌△BEF(AAS),
∴EF=FG,
∴DF=2FE.