《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

【例】因式分解：(1) $3m(2x - y)^{2}-3mn^{2}$；(2) $(a + 2b)^{2}-4(a - b)^{2}$.
【点拨】(1) 当多项式的每一项都含有公因式时,要先提取公因式,再看能否运用平方差公式分解因式,若能,注意确定哪项是公式中的“$a$”,哪项是公式中的“$b$”. 另外,因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. (2) 公式中的“$a$”“$b$”既可以是单项式,也可以是多项式,注意本题中需先将 $4(a - b)^{2}$ 化为 $[2(a - b)]^{2}$,才能利用平方差公式进行因式分解.

答案： （1）原式=3m[(2x−y)²−n²]=3m·(2x−y+n)(2x−y−n)；（2）原式=(a+2b)²−[2(a−b)]²=(a+2b)²−(2a−2b)²=(a+2b+2a−2b)(a+2b−2a+2b)=3a(4b−a)

1. 下列代数式中能用平方差公式分解因式的是(D)
A.$a^{2}+b^{2}$
B.$-a^{2}-b^{2}$
C.$a^{2}-c^{2}-2ac$
D.$-4a^{2}+b^{2}$

答案： D

2. 对于任何整数 $m$,多项式 $(4m + 5)^{2}-9$ 都能(A)
A.被 $8$ 整除
B.被 $m$ 整除
C.被 $(m - 1)$ 整除
D.被 $(2m - 1)$ 整除

答案： A

3. 一个长方形的面积是 $(x^{2}-9)$ $m^{2}$,其长为 $(x + 3)$ $m$,用含有 $x$ 的整式表示它的宽为(x−3) $m$.

答案： (x−3)

4. 把下列各式分解因式：
(1) $a^{2}-4b^{2}$；
(2) $-1 + 0.09x^{2}$；
(3) $a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}$；
(4) $x^{2}y - 4y$；
(5) $81a^{4}-b^{4}$；
(6) $x^{2}(x - y)+y^{2}(y - x)$.

答案： （1）(a+2b)(a−2b)；（2）(0.3x+1)(0.3x−1)；（3）(ax+by)(ax−by)；（4）y(x+2)(x−2)；（5）(9a²+b²)(3a+b)(3a−b)；（6）(x−y)²(x+y)