《2025年新课程能力培养八年级数学上册人教版》

5. 如图是小朋友荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线$BD$上,转轴$B到地面的距离BD = 2.5$m。小朋友在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点$A$时,测得点$A到BD的距离AC = 1.5$m,点$A到地面的距离AE = 1.5$m,当他从$A处摆动到A'$处时,若$A'B\perp AB$,求点$A'到BD$的距离。

答案： 作A'F⊥BD，垂足为F.
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°.在Rt△A'FB中，
∵∠1+∠3=90°，又
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠3.在△ACB和△BFA'中，∠ACB=∠A'FB，∠2=∠3，AB=A'B，
∴△ACB≌△BFA'（AAS），
∴A'F=BC.
∵AC//DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.5 m.
∴BC=BD - CD=2.5 - 1.5=1（m），
∴A'F=1（m），即点A'到BD的距离是1 m.

6. (2024·淄博)如图,已知$AB = CD$,点$E$,$F在线段BD$上,且$AF = CE$。
有下列选项：①$BF = DE$；②$\angle BAF = \angle DCE$；③$AF = CF$。请选择一个合适的选项作为已知条件,使得$\triangle ABF\cong\triangle CDE$。
你添加的条件是①。(只填写一个序号)
添加条件后,请证明$AE// CF$。

答案： 当选择①BF=DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，AB=CD，AF=CE，BF=DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴∠B=∠D，BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF.在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF.
当选择②∠BAF=∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，AB=CD，∠BAF=∠DCE，AF=CE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠B=∠D，BF=DE.同理可证△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF.当选择③AF=CF时，不能判定△ABF≌△CDE.