《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

12.若关于x的方程$x^{2}+(k-2)x+k^{2}= 0$的两根互为倒数,则$k= $______.

答案： -1

13.$\alpha,\beta$是关于x的方程$x^{2}-x+k-1= 0$的两个实数根,且$\alpha^{2}-2\alpha-\beta=4$,则k的值为______.

答案： -4

14.已知关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2= 0$有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)= -1$,求k的值.

答案： 解:
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2=0$有实数根,
∴$\Delta=3^{2}-4×1×(k-2)\geq0$,解得$k\leq\frac{17}{4}$.
(2)
∵方程$x^{2}+3x+k-2=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=-3$,$x_{1}x_{2}=k-2$,
∵$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$,
∴$x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-1$,
∴$k-2+(-3)+1=-1$,解得$k=3$.

15.已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+\frac{1}{2}k^{2}-2= 0$.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两个实数根$x_{1},x_{2}满足x_{1}-x_{2}= 3$,求k的值.

答案：
(1)证明:
∵$\Delta=[-(2k+1)]^{2}-4×1×(\frac{1}{2}k^{2}-2)=2(k+1)^{2}+7＞0$,
∵无论k为何实数,$2(k+1)^{2}\geq0$,
∴$2(k+1)^{2}+7＞0$,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由根与系数的关系得出$x_{1}+x_{2}=2k+1$,$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$,
∵$x_{1}-x_{2}=3$,
∴$(x_{1}-x_{2})^{2}=9$,
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$,
∴$(2k+1)^{2}-4×(\frac{1}{2}k^{2}-2)=9$,化简得$k^{2}+2k=0$,解得$k=0$或$k=-2$.

16.已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(k+1)x+k^{2}+k+3= 0$(k为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边长,求k的值.
(2)是否存在满足条件的常数k,使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长,若存在,求k的值.若不存在,说明理由.

答案： 解:
(1)
∵方程的两根为菱形相邻两边长,
∴此方程有两个相等的实数根,
∴$\Delta=0$,
∴$[-2(k+1)]^{2}-4(k^{2}+k+3)=0$,$k=2$.
(2)不存在,理由如下:设菱形的两对角线长分别为a,b,
∵该方程的两解是菱形的两对角线长,
∴$a+b=2(k+1)$,$ab=k^{2}+k+3$.
∵菱形的两对角线互相垂直平分,
∴由勾股定理得,$(\frac{b}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=4$,$[2(k+1)]^{2}-2(k^{2}+k+3)=16$,解得$k=\frac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}$,
∵$\Delta=4k-8$,
∴$4k-8\geq0$,
∴$k\geq2$.
∵$k=\frac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}＜2$,
∴不存在满足条件的常数k.