《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

8.如图,正方形ABCD与$\triangle EFG$在方格纸中,正方形和三角形的顶点都在格点上,那么与$\triangle EFG$相似的是( )


A.以点E,F,A为顶点的三角形
B.以点E,F,B为顶点的三角形
C.以点E,F,C为顶点的三角形
D.以点E,F,D为顶点的三角形

答案： C

9.如图所示,$AB\perp BD$于点B,$CD\perp BD$于点D,$AB= 9$,$CD= 1$,$BD= 6$,点E在BD上移动,当以E,C,D为顶点的三角形与$\triangle ABE$相似时,求DE的长为______.

答案： 3 或 3/5

10.已知:如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点,且满足$AB^{2}= DB\cdot CE$.求证:$\triangle ADB\backsim\triangle EAC$.

答案： 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB²=DB·CE，
∴(AB)/(CE)=(DB)/(AB)，
∴(AB)/(CE)=(DB)/(AC)，
∴△ADB∽△EAC.

11.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{ED}= \frac{AC}{AD}$.
(1)$\angle1与\angle2$相等吗?为什么?
(2)判断$\triangle ABE与\triangle ACD$是否相似?并说明理由.

答案：
(1)∠1与∠2相等.在△ABC和△AED中，
∵(AB)/(AE)=(BC)/(ED)=(AC)/(AD)，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠2.
(2)△ABE与△ACD相似.由(AB)/(AE)=(AC)/(AD)得(AB)/(AC)=(AE)/(AD)，又
∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ACD.

12.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 1$,$BC= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,在AC边上截取$AD= BC$,连接BD.
(1)通过计算,判断$AD^{2}与AC\cdot CD$的大小关系.
(2)求$\angle ABD$的度数.

答案：
(1)
∵AD=BC=(√5-1)/2，
∴AD²=((√5-1)/2)²=(3-√5)/2.
∵AC=1，
∴CD=1-(√5-1)/2=(3-√5)/2，
∴AD²=AC·CD.
(2)
∵AD²=AC·CD，
∴BC²=AC·CD，即(BC)/(CD)=(AC)/(BC).又
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC.
∴(AB)/(BD)=(AC)/(BC).又
∵AB=AC，
∴BD=BC=AD.
∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.
∴∠ABD=36°.