《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

9. 已知点 $ A(-2,y_{1}),B(\sqrt{5},y_{2}),C(3,y_{3}) $ 都在二次函数 $ y= a(x+1)^{2}+k(a＜0) $ 的图象上,则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 的大小关系是______。

答案： y₁＞y₂＞y₃

10. 已知二次函数 $ y= (x+m)^{2}+k $ 的顶点坐标为(1,-4)。
(1) 求二次函数的解析式及图象与x轴交于A,B两点的坐标。
(2) 将二次函数的图象沿x轴翻折,得到一个新的抛物线,求新抛物线的解析式。

答案： 解:
(1)
∵二次函数y=(x+m)²+k的顶点坐标为(1,−4),
∴二次函数的解析式为y=(x−1)²−4.当y=0时，则0=(x−1)²−4,解得x₁=3,x₂=−1,
∴A,B的坐标分别为(−1,0),(3,0).
(2)新抛物线的解析式为y=−(x−1)²+4.

11. 某同学练习推铅球,铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线,铅球在离地面0.5米高的A处推出,达到最高点B时的高度是2.5米,推出的水平距离是4米,铅球在地面上点C处着地。
(1) 根据如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式。
(2) 这个同学推出的铅球有多远？

答案： 解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x−4)²+2.5，
　由题意,得0.5=a(0−4)²+2.5,解得a=−$\frac{1}{8}$,
∴y=−$\frac{1}{8}$(x−4)²+2.5.
(2)令y=0,则−$\frac{1}{8}$(x−4)²+2.5=0,
　解得x₁=2$\sqrt{5}$+4,x₂=−2$\sqrt{5}$+4＜0(舍去),
∴x=2$\sqrt{5}$+4.
∴这个同学推出的铅球有(2$\sqrt{5}$+4)米远

12. 如图,抛物线 $ y= a(x-h)^{2}+k(a＜0,k＞0) $ 的顶点为A,对称轴与x轴交于点C,当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B,D恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”,正方形ABCD为它的内接正方形。
(1) 当抛物线 $ y= ax^{2}+2 $ 是“美丽抛物线”时,则 $ a= $______。
(2) 当抛物线 $ y= -\frac{1}{2}(x-1)^{2}+k $ 是“美丽抛物线”时,则 $ k= $______。
(3) 若抛物线 $ y= a(x-h)^{2}+k $ 是“美丽抛物线”,求a,k之间的数量关系。

答案： 解:
(1)
∵y=ax²+2,
∴抛物线顶点A坐标为(0,2)，
∴点C 坐标为(0,0)，
∴点B坐标为(−1,1),点D坐标为(1,1),将(1,1)代入y=ax²+2得1=a+2,解得a=−1.
(2)
∵y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+k,
∴抛物线顶点A坐标为(1,k),点C坐标为(1,0),
∴点D坐标为(1+$\frac{1}{2}$k,$\frac{1}{2}$k),将(1+$\frac{1}{2}$k,$\frac{1}{2}$k)代入y=−$\frac{1}{2}$(x−1)²+k得$\frac{1}{2}$k=−$\frac{1}{2}$(1+$\frac{k}{2}$−1)²+k,解得k=0(舍)或k=4.
(3)抛物线经过(h+$\frac{1}{2}$k,$\frac{1}{2}$k),
∴$\frac{1}{2}$k=a(h+$\frac{1}{2}$k−h)²+k,解得ak=−2,
∴a,k之间的数量关系为ak=−2.