《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

8.如图,在4×4的网格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.现要在这张网格纸的四个格点M,N,P,Q中找一点作为旋转中心,将△ABC绕着这个中心进行旋转,旋转前后的两个三角形成中心对称,且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上,那么满足条件的旋转中心有( )

A.点M,点N
B.点M,点Q
C.点N,点P
D.点P,点Q

答案： C

9.如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,∠ACB= 30°.将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E,点F是边AC的中点,连接BF,BE,FD,则下列结论错误的是( )

A.BE= BC
B.BF//DE,BF= DE
C.∠DFC= 90°
D.DG= 3GF

答案： D

10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠AOB= 60°,对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜120°),所得的直线l分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证：△AOE≌△COF.
(2)当旋转角α为多少度时,四边形AFCE为菱形？试说明理由.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,AO=CO,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AEO=∠CFO,\\ ∠AOE=∠COF,\\ AO=CO,\end{array}\right. $
∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)当α=90°时，四边形AFCE为菱形.理由:
∵△AOE≌△COF,
∴OE=OF.又
∵AO=CO，
∴四边形AFCE为平行四边形.又
∵∠AOE=90°,
∴四边形AFCE为菱形.

11.△ABC和△ADE都是等边三角形.当△ADE绕点A旋转到图1的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA.
(1)请猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系,并加以证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,其他条件不变,请直接写出线段PA,PB,PC之间的数量关系,不需要证明.

答案：

(1)PB=PA+PC,理由如下:如图1,在BP上截取BF =PC,连接AF,
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB =AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,
∴△ABD ≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,BF=CP,
∴△BAF≌△CAP(SAS),
∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,
∴∠BAC=∠PAF=60°,
∴△AFP是等边三角形，
∴PF=PA,
∴PB=BF+PF=PC+PA.

(2)PC=PA+PB,理由如下:如图2,在PC上截取CM=PB,连接AM,同理得:△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,PB=CM,
∴△AMC≌△APB(SAS),
∴AM=AP、∠BAP=∠CAM,
∴∠BAC=∠PAM=60°,
∴△AMP是等边三角形，
∴PM=PA,
∴PC=PM+CM=PA+PB.