《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

1.如图,已知△ABC中,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,求证:△AEF∽△ACB.

答案： 证明:
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠AEC=∠AFB=90°.
∵∠A是公共角,
∴△ABF∽△ACE.
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AB}$.
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$.又
∵∠A是公共角,
∴△AEF∽△ACB.

2.如图,AD与BC相交于E,点F在BD上,且AB//EF//CD,求证:$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}= \frac{1}{EF}$.

答案： 解:
∵AB//EF,
∴△DEF∽△DAB.
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$.又
∵EF//CD,
∴△BEF∽△BCD.
∴$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$.
∴$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}=\frac{BD}{BD}=1$.
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$.

3.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则$\frac{BE}{EC}$的值是( )


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： C

4.如图,已知∠ADE= ∠ACB,BD= 8,CE= 4,CF= 2,求DF的长.

答案： 解:
∵∠ADE=∠ACB,
∴180°-∠ADE=180°-∠ACB,即∠BDF=∠ECF.又
∵∠BFD=∠EFC,
∴△BDF∽△ECF.
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{DF}{CF}$,即$\frac{8}{4}=\frac{DF}{2}$.
∴DF=4.

5.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于D,则下列结论错误的是( )


A.CD·AB= AC·BC
B.$AC^2= AD·AB$
C.$BC^2= BD·AB$
D.AC·CD= AB·BC

答案： D

6.如图,△ABC中,∠ACB= 90°,CD是斜边AB上的高,AD= 9,BD= 4,那么CD= ______,AC= ______.

答案： 6 $3\sqrt{13}$

7.如图,Rt△ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,NM⊥BC于点M.延长BA,MN交于点E.求证:
(1)MN= EN.

(2)$MN^2= AN·NC$.

答案： 证明:
(1)
∵AD为斜边BC上的高,NM⊥BC,
∴AD//EM,
∴△BAP∽△BEN,△BPD∽△BNM,
∴$\frac{AP}{EN}=\frac{BP}{BN}$,$\frac{DP}{MN}=\frac{BP}{BN}$,
∴$\frac{AP}{EN}=\frac{DP}{MN}$,而P为AD的中点,
∴AP=DP,
∴MN=EN.
(2)
∵∠NMC=∠NAE=90°,∠MNC=∠ENA,
∴△MNC∽△ANE,
∴MN:AN=NC:EN,而MN=EN,
∴MN:AN=NC:MN,
∴$MN^2=AN·NC$.