《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

4.如图,在△ABC中,AB= AC,O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D.
求证:AB是半圆O所在圆的切线.

答案：
证明:如图，作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E.
∵AB=AC,O为BC的中点，
∴∠CAO=∠BAO.
∵OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,
∴OD=OE,
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线.

5.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.

答案：
证明:连接OM，过点O作ON⊥CD于点N.
∵⊙O与BC相切于点M,
∴OM⊥BC.
又
∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM=ON,
∴CD与⊙O相切.

6.如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,∠A的平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE= DC,以D为圆心,以DB的长为半径画圆.
求证:(1)AC是⊙D的切线.
(2)AB+EB= AC.

答案：

(1)过点D作DF⊥AC于F.
∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC,
∴BD=DF,
∴AC为⊙D的切线.

(2)
∵AC为⊙D的切线，
∴∠DFC=∠B=90°.
在Rt△BDE和Rt△FCD中,
∵BD=DF,DE=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),
∴EB=FC.
∵AB=AF,
∴AB+EB=AF+FC,
即AB+EB=AC.