《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

8.一次函数$y= x+a与二次函数y= ax^{2}-a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

答案： B

9.抛物线$y= x^{2}+3上有两点A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,若$y_{1}＜y_{2}$,则下列结论正确的是( )

A.$0\leq x_{1}＜x_{2}$
B.$x_{2}＜x_{1}\leq0$
C.$x_{2}＜x_{1}\leq0或0\leq x_{1}＜x_{2}$
D.以上都不对

答案： D

10.若二次函数$y= ax^{2}+c$,当$x取x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$时,函数值相等,则当$x取x_{1}+x_{2}$时,函数值为( )

A.$a+c$
B.$a-c$
C.$-c$
D.$c$

答案： D

11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+3与y轴交于点A$,过点$A与x轴平行的直线交抛物线y= \frac{1}{3}x^{2}于点B$,$C$,则$BC$的长度为______.

答案： 6

12.已知函数$y= ax^{2}+k(a\neq0)的图象经过点(-2,-3)和点(1,6)$.
(1)求这个函数的解析式.
(2)当$x$取何值时,函数$y随x$的增大而增大？当$x$取何值时,函数$y随x$的增大而减小？
(3)求这个函数的图象与$x$轴的交点坐标.

答案： 解:
(1)把点(-2,-3)和点(1,6)代入y=ax²+k得$\begin{cases}4a + k = -3\\a + k = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -3\\k = 9\end{cases}$，
∴二次函数解析式为y=-3x²+9.
(2)
∵抛物线的对称轴为直线x=0，抛物线开口向下，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大;当x＞0时，函数y随x的增大而减小.
(3)当y=0时，-3x²+9=0，解得$x_1 = -\sqrt{3}$，$x_2 = \sqrt{3}$，
∴这个函数的图象与x轴的交点坐标为$(-\sqrt{3},0)$，$(\sqrt{3},0)$.

13.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为$AB$(单位：米).现以$AB所在的直线为x$轴,以抛物线的对称轴为$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为$O$,已知$AB= 8$米,设抛物线的解析式为$y= ax^{2}-4$.
(1)求$a$的值.
(2)点$C(-1,m)$是抛物线上一点,连接$OC并延长至点D$,使$OD= OC$,连接$BC$,$BD$,求$\triangle BCD$的面积.

答案： 解:
(1)
∵AB=8，
∴由抛物线的对称性可知OB=4，
∴B(4,0).
∵点B在抛物线y=ax²-4上，
∴16a-4=0，解得$a = \frac{1}{4}$.
(2)过点C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥AB于F，
∵$a = \frac{1}{4}$，
∴$y = \frac{1}{4}x² - 4$.
∵C(-1,m)在抛物线上，
∴$m = -\frac{15}{4}$，
∴$C(-1,-\frac{15}{4})$.
∵点D在CO的延长线上，且OD=OC，
∴$D(1,\frac{15}{4})$.
∴$CE = DF = \frac{15}{4}$(米)，
∴$S_{\triangle BCD} = S_{\triangle BCO} + S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2}OB\cdot CE + \frac{1}{2}OB\cdot DF = \frac{1}{2}×4×\frac{15}{4} + \frac{1}{2}×4×\frac{15}{4} = 15$(平方米)，
∴△BCD的面积为15平方米.