《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

8.如图所示,等腰直角三角形ABC的斜边AB= 4,O是AB的中点,以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D,E.求图中阴影部分的面积.

答案： 解:连接OE.
∵⊙O与BC相切于点E，
∴∠OEB = 90°.
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC = BC且$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=4^{2}=16$.
∴$AC = BC = 2\sqrt{2}$.
∵∠C = 90°，
∴OE//AC.又
∵OA = OB，
∴CE = EB.
∴$OE = EB=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$.
∴$S_{\triangle OEB}=\frac{1}{2}\cdot OE\cdot EB=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，$S_{扇形OEF}=\frac{45\pi×(\sqrt{2})^{2}}{360}=\frac{\pi}{4}$.
∴$S_{阴影}=2(S_{\triangle OEB}-S_{扇形OEF})=2-\frac{\pi}{2}$.

9.如图,PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,$\angle ACB= 60^\circ$.
(1)求$\angle P$的度数.
(2)若$\odot O$的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积.

答案： 解:
(1)连接OA，OB.
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠PAO = 90°，∠PBO = 90°.
∴∠AOB + ∠APB = 180°.
∵∠AOB = 2∠C = 120°，
∴∠APB = 60°.
(2)连接OP.
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴$∠APO=\frac{1}{2}∠APB = 30°$.
在Rt△APO中，
∵OA = 4cm，
∴PO = 2×4 = 8cm.
由勾股定理得$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}(cm)$.
∴阴影部分的面积为$2×(\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}-\frac{60×\pi×4^{2}}{360})=(16\sqrt{3}-\frac{16}{3}\pi)cm^{2}$.

10.如图,在正方形ABCD中,AD= 2,E是AB的中点,将$\triangle BEC$绕点B逆时针旋转$90^\circ$后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转$90^\circ$得线段FG,连接EF,CG.
(1)求证：EF$//$CG.
(2)求点C,A在旋转过程中形成的$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{AG}$与线段CG所围成的阴影部分的面积.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = AD = 2，∠ABC = 90°.
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，
∴△ABF≌△CBE.
∴∠FAB = ∠ECB，∠ABF = ∠CBE = 90°，AF = EC.
∴∠AFB + ∠FAB = 90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，
∴∠AFB + ∠CFG = ∠AFG = 90°，AF = FG.
∴∠CFG = ∠FAB = ∠ECB.
∴EC//FG.
∵AF = EC，AF = FG，
∴EC = FG.
∴四边形EFGC是平行四边形.
∴EF//CG.
(2)解:
∵△ABF≌△CBE，
∴$FB = BE=\frac{1}{2}AB = 1$.
∴$AF=\sqrt{AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt{5}$.在△FEC和△CGF中，
∵EC = FG，∠ECB = ∠CFG，FC = CF，
∴△FEC≌△CGF.
∴$S_{\triangle FEC}=S_{\triangle CGF}$.
∴$S_{阴影}=S_{扇形BAC}+S_{\triangle ABF}+S_{\triangle FGC}-S_{扇形FAG}=\frac{90\pi×2^{2}}{360}+\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×(1 + 2)×1-\frac{90\pi×(\sqrt{5})^{2}}{360}=\frac{5}{2}-\frac{\pi}{4}$(或$\frac{10 - \pi}{4}$).