《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

7. 如图,正方形$ ABCD $的边长为5,点$ A 的坐标为 (4,0) $,点$ B 在 y $轴上.若反比例函数$ y= \frac{k}{x}(k\neq0) 的图象过点 C $,则$ k $的值为( )

A.4
B.-4
C.-3
D.3

答案： C

8. 如图,在平面直角坐标系$ xOy $中,点$ A(0,4) $,$ B(3,4) $,将$ \triangle ABO 向右平移到 \triangle CDE $位置,$ A 的对应点是 C $,$ O 的对应点是 E $,函数$ y= \frac{k}{x}(k\neq0) 的图象经过点 C 和 DE 的中点 F $,则$ k $的值是______.

答案： 6

9. 如图,$ P_{1} $,$ P_{2} 是反比例函数 y= \frac{k}{x}(k＞0) $在第一象限图象上的两点,点$ A_{1} 的坐标为 (2,0) $.若$ \triangle P_{1}OA_{1} 与 \triangle P_{2}A_{1}A_{2} $均为等边三角形.
(1)求此反比例函数的解析式.
(2)求$ A_{2} $点的坐标.
]

答案： 解:
(1)作$P_1B\perp OA_1$于点B,
∵等边$\triangle P_1OA_1$中,$OA_1=2$,
∴OB=1,$P_1B=\sqrt{3}$,把$P_1$点坐标$(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$,解得$k=\sqrt{3}$,
∴$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$.
(2)作$P_2C\perp A_1A_2$于点C,
∵等边$\triangle P_2A_1A_2$,设$A_1C=a$,则$P_2C=\sqrt{3}a$,$OC=2+a$,把$P_2$点坐标$(2+a,\sqrt{3}a)$代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$,即$(2+a)\sqrt{3}a=\sqrt{3}$,解得$a_1=\sqrt{2}-1$,$a_2=-\sqrt{2}-1$(舍去),
∴$OA_2=2+2a=2\sqrt{2}$,
∴$A_2(2\sqrt{2},0)$.

10. 如图,在平面直角坐标系中,菱形$ ABCD 的顶点 D 在 y $轴上,$ A $,$ C 两点的坐标分别为 (4,0) $,$ (4,m) $,直线$ CD:y= ax+b(a\neq0) 与反比例函数 y= \frac{k}{x}(k\neq0) 的图象交于 C $,$ P(-8,-2) $两点.
(1)求该反比例函数的解析式及$ m $的值.
(2)判断点$ B $是否在该反比例函数的图象上,并说明理由.
]

答案： 解:
(1)把P(-8,-2)代入$y=\frac{k}{x}$得k=16,
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$,
∵C(4,m)在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上,
∴m =4.
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{16}{x}$,m=4.
(2)点B在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上,理由如下:连接AC,BD交于点H,如图.易求得直线CD的解析式是$y=\frac{1}{2}x+2$,
∴D(0,2),
∵四边形ABCD是菱形,
∴H是AC中点,也是BD中点,由A(4,0),C(4,4)可得H(4,2),
∴B(8,2),在$y=\frac{16}{x}$中,令x=8得y=2,
∴B在反比例函数$y=\frac{16}{x}$的图象上.