《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

9. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+mx+n= 0$的两个实根分别为5,-6,则二次三项式$x^{2}+mx+n$可分解为( )

A.$(x+5)(x-6)$
B.$(x-5)(x+6)$
C.$(x+5)(x+6)$
D.$(x-5)(x-6)$

答案： B

10. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程$x^{2}-8x+15= 0$的一根,则此三角形的周长是( )

A.16
B.12
C.14
D.12或16

答案： A

11. 对于实数$a,b$,定义运算“$\odot$”如下：$a\odot b= (a+b)^{2}-(a-b)^{2}$.若$(m+2)\odot(m-3)= 24$,则$m= $______.

答案： −3或4

12. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}-25= 5x+25$.
(2)$(x+2)^{2}-(3x-1)^{2}= 0$.
(3)$4x^{2}+3x-2= 0$.

答案：
(1)$x_{1}=-5$,$x_{2}=10$.
(2)$x_{1}=-\frac{1}{4}$,$x_{2}=\frac{3}{2}$.
(3)$a=4$,$b=3$,$c=-2$.$b^{2}-4ac=3^{2}-4×4×(-2)=41＞0$.
∴$x=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{2×4}=\frac{-3\pm \sqrt{41}}{8}$.
∴$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{41}}{8}$,$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{41}}{8}$.

13. 由多项式乘法：$(x+a)(x+b)= x^{2}+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)$.
示例：
分解因式：$x^{2}+5x+6= x^{2}+(2+3)x+2×3= (x+2)(x+3)$.
(1)尝试：
分解因式：$x^{2}+6x+8= (x+_____)(x+_____)$.
(2)应用：
①请用上述方法解方程：$x^{2}-3x-4= 0$；
②如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$BC= 8$,且$AB的长是方程x^{2}-9x+20= 0$的一个根,求等腰三角形$ABC$的面积.

答案：
(1)2,4.
(2)①
∵$x^{2}-3x-4=0$,$x^{2}+(-4+1)x+(-4)×1=0$,
∴$(x-4)(x+1)=0$,则$x+1=0$或$x-4=0$,解得$x_{1}=-1$ 或$x_{2}=4$;
②由方程$x^{2}-9x+20=0$,得$(x-4)(x-5)=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=5$.
∵AB的长是方程$x^{2}-9x+20=0$的一个根，
∴AB=4或AB=5.
∵AB=AC,BC=8,AB+AC＞BC,
∴2AB＞8,
∴AB＞4,
∴AB=5.如图，过点A作AD⊥BC于点D,则$BD=\frac{1}{2}BC=4$.在Rt△ABD中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD =\frac{1}{2}×8×3=12$,即等腰三角形ABC的面积是12.