《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

1.如图,AB为⊙O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC= ∠B,求证:直线CD与⊙O相切.

答案：
证明:如图，连接OD，

∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ADC=∠B,
∴∠ODA+∠ADC=90°,即∠CDO=90°,
∴CD⊥OD.
∵OD是⊙O的半径,
∴直线CD与⊙O相切.

2.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,DE//BC交AC的延长线于点E.
(1)求证:直线DE与⊙O相切.
(2)若⊙O的直径是10,∠A= 45°,求CE的长.

答案：

(1)证明:连接OD，如图，
∵点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴OD⊥BC,
∵DE//BC,
∴OD⊥DE,
∴直线DE与⊙O相切.

(2)解:
∵AC是⊙O的直径，
∴∠B=90°.
∵∠A=45°,
∴∠ACB=45°.
∵BC//DE,
∴∠E=45°.而∠ODE=90°,
∴△ODE为等腰直角三角形，
∴OE=$\sqrt{2}$OD=5$\sqrt{2}$,
∴CE=OE−OC=5$\sqrt{2}$−5.

3.如图,AB为⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE//AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与⊙O相切吗?并说明理由.
(2)若CA= 2,CD= 4,求DE的长.

答案：

(1)直线BE与⊙O相切，理由:连接OD,
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE=90°,
∵AD//OE,
∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB.
∵OD=OA,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOE=∠EOB.
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE≌△BOE(SAS),
∴∠OBE=∠ODE=90°.
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BE与⊙O相切.

(2)设⊙O的半径为r,在Rt△ODC中,OD²+DC²=OC²,
∴r²+4²=(r+2)²,
∴r=3,
∴AB=2r=6,
∴BC=8.由
(1)得△DOE≌△BOE,
∴DE=BE.在Rt△BCE中,BC²+BE²=CE²,
∴8²+BE²=(4+DE)²,
∴64+DE²=(4+DE)²,
∴DE=6.