《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

8.如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED= 1,BD= 4,求AB的长.

答案： 解:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°,∠ACB+∠A=90°.
∵AC⊥CE,
∴∠ACB+∠ECD=90°.
∴∠A=∠ECD.
∴△ABC∽△CDE.
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{ED}$.又
∵C是线段BD的中点,ED=1,BD=4,
∴BC=CD=2.
∴AB=4.

9.如图,在四边形BFDA中,∠B= 90°,DF//AB,AB= 3,BC= 4,CF= 7.2,以AD为直径作⊙O,⊙O交BF于点C,交DF于点E.
(1)求证:△CDF∽△ACB.
(2)求直径AD长.

答案： 解:
(1)连接AC,
∵∠B=90°,AB//DF,
∴∠B+∠F=180°,
∴∠F=90°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCF=90°,
∴∠BAC=∠DCF,
∴△CDF∽△ACB.
(2)
∵△CDF∽△ACB,
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BC}{DF}$.
∴$\frac{3}{7.2}=\frac{4}{DF}$,
∴DF=9.6,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AED=90°,
∴∠AEF=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∴AE=BF=11.2,EF=AB=3,
∴DE=6.6,
∴AD=$\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{11.2^2+6.6^2}=13$.

10.如图,在△ABC中,AB= AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF= ∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.
(1)求证:△BDE∽△CEF.
(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.

答案： 解:
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,
∵∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
(2)
∵△BDE∽△CEF,
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$,
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$,
∵∠DEF=∠B=∠C,
∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE=∠CFE,
∴FE平分∠DFC.