《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

6. 如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数$y= 4x-\frac{1}{2}x^{2}$刻画,斜坡可以用一次函数$y= \frac{1}{2}x$刻画,下列结论错误的是( )


A.当小球抛出高度达到7.5m时,小球距点O水平距离为3m
B.小球距点O水平距离超过4米呈下降趋势
C.小球落地点距点O水平距离为7米
D.小球的最大高度为8米

答案： A

7. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE= 10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标.

答案：
(1)抛物线的解析式为$y=-\frac{9}{25}(x-5)^{2}+9$.
(2)令$y=6$,得$-\frac{9}{25}(x-5)^{2}+9=6$,解得$x_{1}=\frac{5\sqrt{3}}{3}+5$,$x_{2}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}+5$,
∴$A(5-\frac{5\sqrt{3}}{3},6)$,$B(5+\frac{5\sqrt{3}}{3},6)$.

8. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,落地点超过点K越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准点K到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$.
(1)c的值为______.
(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时$a= -\frac{1}{50},b= \frac{9}{10}$,求基准点K的高度h;
②若$a= -\frac{1}{50}$时,运动员落地点要超过点K,则b的取值范围为______.
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过点K,并说明理由.

答案：
(1)66.
(2)①
∵$a=-\frac{1}{50}$,$b=\frac{9}{10}$,
∴$y=-\frac{1}{50}x^{2}+\frac{9}{10}x+66$,
∵基准点K 到起跳台的水平距离为75 m,
∴$y=-\frac{1}{50}×75^{2}+\frac{9}{10}×75+66=21$,
∴基准点 K 的高度 h 为 21 m;②
∵$a=-\frac{1}{50}$,
∴$y=-\frac{1}{50}x^{2}+bx+66$,
∵运动员落地点要超过点 K,
∴$x=75$时,$y＞21$,即$-\frac{1}{50}×75^{2}+75b+66＞21$,解得$b＞\frac{9}{10}$.
(3)他的落地点能超过点 K,理由如下:
∵运动员飞行的水平距离为 25 m 时,恰好达到最大高度 76 m,
∴抛物线的顶点为$(25,76)$,设抛物线解析式为$y=a(x-25)^{2}+76$,把$(0,66)$代入得$66=a(0-25)^{2}+76$,解得$a=-\frac{2}{125}$,
∴抛物线解析式为$y=-\frac{2}{125}(x-25)^{2}+76$,当$x=75$时,$y=-\frac{2}{125}(75-25)^{2}+76=36$,
∵$36＞21$,
∴他的落地点能超过点 K.