《2025年名师面对面满分特训方案九年级数学全一册人教版台州专版》

5.如图 1,$\triangle ABC内接于\odot O$,直线 MN 与$\odot O$相切于点 D,OD 与 BC 相交于点 E,$BC// MN.$
(1)求证:$∠BAC= ∠DOC.$
(2)如图 2,若 AC 是$\odot O$的直径,E 是 OD 的中点,$\odot O$的半径为 4,求 AE 的长.

答案：

(1)证明:连接OB，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点D,
∴OD⊥MN.
∵BC//MN,
∴OD⊥BC,
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴∠BOD=∠COD.
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC,
∴∠BAC=∠COD.

(2)
∵E是OD的中点，
∴OE=DE=2,在
Rt△OCE中,CE=$\sqrt{OC^{2}-OE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$.
∵OE⊥BC,
∴BE=CE=2$\sqrt{3}$.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°,
∴AB=$\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{8^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}$=4.在Rt△ABE中,AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{7}$.

6.如图,已知 AB 是$\odot O$的直径,点 C 在$\odot O$上,CD 是$\odot O$的切线,$AD⊥CD$于点 D,E 是 AB 延长线上一点,CE 交$\odot O$于点 F,连接 OC,AC.
(1)求证:AC 平分$∠DAO.$

(2)若$∠DAO= 105^{\circ },∠E= 30^{\circ }.$
①求$∠OCE$的度数;
②若$\odot O的半径为2\sqrt {2}$,求线段 EF 的长.

答案：

(1)证明:
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA.
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OAC=∠DAC,
∴AC平分∠DAO.

(2)解:①
∵AD//OC,
∴∠EOC=∠DAO=105°,
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,则CG=FG=OG.
∵OC=2$\sqrt{2}$,∠OCE=45°,
∴CG=OG=2,
∴FG=2,在Rt△OGE中,∠E=30°,
∴GE=2$\sqrt{3}$,
∴EF=GE−FG=2$\sqrt{3}$−2.

7.如图,以线段 AB 为直径作$\odot O$,交射线 AC 于点 C,AD 平分$∠CAB交\odot O$于点 D,过点 D 作直线$DE⊥AC$于点 E,交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M.
(1)求证:直线 DE 是$\odot O$的切线.
(2)求证:$AB= AM.$
(3)若$ME= 1,∠F= 30^{\circ }$,求 BF 的长.

答案：

(1)证明:连接OD，则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD.
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD//AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD,
∴直线DE是⊙O的切线.

(2)证明:
∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM=180°−∠ADB=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°.
∵∠DAM=∠DAB,
∴∠M=∠ABM,
∴AB=AM.
(3)解:
∵∠AEF=90°,∠F=30°,
∴∠BAM=60°,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°.
∵∠DEM=90°,ME=1,
∴∠EDM=30°,
∴MD=2ME=2,
∴BD=MD=2,
∵∠BDF=∠EDM=30°,
∴∠BDF=∠F,
∴BF=BD=2.