《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 如图,△OAB∽△OCD,OA：OC= 6：5,∠A= α,∠B= β,△OAB与△OCD的面积分别是$S_1$和$S_2,△OAB$与△OCD的周长分别是$C_1$和$C_2,$则下列等式一定成立的是(D).

A.$\frac{OB}{CD}= \frac{6}{5}$
B.$\frac{\alpha}{\beta}=\frac{6}{5}$
C.$\frac{S_1}{S_2}= \frac{6}{5}$
D.$\frac{C_1}{C_2}= \frac{6}{5}$

答案： D

2. 如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE//BC,AE= 2CE,则$\frac{AD}{AB}=$$\frac{2}{3}$,$\frac{DE}{BC}=$$\frac{2}{3}$.

答案： $\frac{2}{3}$;$\frac{2}{3}$

3. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问：出南门几步而见木？”大意：如图,四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,则出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上).

答案： $\frac{2000}{3}$

4. 如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点A的坐标为(0,2).
(1)以点B为位似中心,在y轴的左侧将△ABC放大得到$△A_1BC_1,$使得$△A_1BC_1$的面积是△ABC面积的4倍,在方格纸中画出$△A_1BC_1,$并直接写出点$A_1,C_1$的坐标；
(2)在方格纸中画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的$△A_2B_2C_2.$

答案：
解:
(1)如图,$\triangle A_{1}BC_{1}$即为所求.
点$A_{1}$的坐标为$(-6,-1)$,$C_{1}$的坐标为$(-4,-3)$.
(2)如图,$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求.

5. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD是高,BE平分∠ABC.BE分别与AC,CD交于点E,F.求证：
(1)△AEB∽△CFB；
(2)$\frac{AE}{CE}= \frac{AB}{CB}$.

答案： 证明:
(1)$\because \angle ACB=90^{\circ}$,
$\therefore \angle ACD+\angle BCD=90^{\circ}$.
$\because CD$为$AB$边上的高,
$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$.
$\therefore \angle A+\angle ACD=90^{\circ}$.
$\therefore \angle A=\angle BCD$.
$\because BE$是$\angle ABC$的平分线,
$\therefore \angle ABE=\angle CBE$.
$\therefore \triangle AEB\backsim \triangle CFB$.
(2)$\because \angle ABE=\angle CBE$,$\angle A=\angle BCD$,
$\therefore \angle CFE=\angle BCD+\angle CBE=\angle A+\angle ABE$.
$\because \angle CEF=\angle A+\angle ABE$,
$\therefore \angle CEF=\angle CFE$.$\therefore CE=CF$.
$\because \triangle AEB\backsim \triangle CFB$,
$\therefore \frac{AE}{CF}=\frac{AB}{CB}$.$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}$.