《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC 上的点,且∠AED = ∠B. 若 AD = 1,BD = AC = 3,则 AE 的长是(C).

A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.2
]

答案： C

2. 如图,点 E,F 分别在菱形 ABCD 的边 AB,AD 上,且 AE = DF,BF 交 DE 于点 G,延长 BF 交 CD 的延长线于点 H. 若$\dfrac{AF}{DF}= 2$,则$\dfrac{HF}{BG}$的值为($\dfrac{7}{12}$).

A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{7}{12}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{5}{12}$
]

答案： B　解析:设菱形ABCD的边长为3a.
∵$\frac{AF}{DF}=2$，AE = DF，
∴AE = DF = a，AF = BE = 2a.
∵AB//CD，
∴∠H = ∠ABF，∠FDH = ∠FAB.
∴△DFH∽△AFB.
∴$\frac{HF}{BF}=\frac{HD}{BA}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$.
∴HD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{3}{2}$a，HF = $\frac{1}{3}$HB.
∵∠HGD = ∠BGE，∠H = ∠EBG，
∴△DHG∽△EBG.
∴$\frac{BG}{HG}=\frac{BE}{HD}=\frac{2a}{\frac{3}{2}a}=\frac{4}{3}$.
∴BG = $\frac{4}{7}$HB.
∴$\frac{HF}{BG}=\frac{\frac{1}{3}HB}{\frac{4}{7}HB}=\frac{7}{12}$.

3. 如图,在△ABC 中,BC 的垂直平分线分别交 BC,AC 于点 D,E,BE 交 AD 于点 F,AB = AD.
(1)判断△FDB 与△ABC 是否相似,并说明理由；
(2)若 AF = 2,求 FD 的长.
]

答案： 解:
(1)△FBD∽△ACB.理由如下:
∵AD = AB，
∴∠ABD = ∠ADB.
∵ED垂直平分BC，
∴EB = EC.
∴∠EBC = ∠ECB.
∴△FBD∽△ACB.
(2)
∵△FBD∽△ACB，
∴$\frac{FD}{AB}=\frac{DB}{BC}$.
∵ED垂直平分BC，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FD}{AB}=\frac{1}{2}$.
又
∵AD = AB，
∴FD = $\frac{1}{2}$AD.
∴FD = FA = 2.

4. 如图,∠ABD = ∠BCD = 90°,DB 平分∠ADC,过点 B 作 BM//CD 交 AD 于点 M,连接 CM 交 DB 于点 N.
(1)求证：$BD^{2}= AD\cdot CD$；
(2)若 CD = 6,AD = 8,求 MN 的长.
]

答案：
(1)证明:
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB = ∠BDC.
又
∵∠ABD = ∠BCD = 90°，
∴△ABD∽△BCD.
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$.
∴BD² = AD·CD.
(2)解:
∵BM//CD，
∴∠MBD = ∠BDC，∠MBC = 180°−∠BCD = 90°.
又
∵∠ADB = ∠BDC，
∴∠ADB = ∠MBD.
∴BM = MD.
∵∠ABD = 90°，
∴∠MAB + ∠ADB = ∠MBA + ∠MBD = 90°.
∴∠MAB = ∠MBA.
∴AM = BM = MD = 4.
∵BD² = AD·CD，且CD = 6，AD = 8，
∴BD² = 48.
∴BC² = BD²−CD² = 12.
∴MC² = MB² + BC² = 28.
∴MC = 2$\sqrt{7}$(负值舍去).
∵∠MBD = ∠BDC，∠MNB = ∠CND，
∴△MNB∽△CND.
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}$，
即$\frac{MN}{2\sqrt{7}-MN}=\frac{2}{3}$.解得MN = $\frac{4}{5}\sqrt{7}$.

5. 如图,网格中的小方格是边长为 1 的正方形,A,B,C,D 四点都在格点上.
(1)找出图中一组相似三角形,并给予证明；
(2)作∠ABC 和∠ACD 的平分线 BM,CM 交于点 M,求∠BMC 的度数.
]

答案：
解:
(1)△ADC∽△ACB.
证明如下:由题意，得AD = 2$\sqrt{5}$，AC = 5$\sqrt{2}$，DC = $\sqrt{10}$，BC = 5，AB = 5$\sqrt{5}$，
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴△ADC∽△ACB.
(2)如图，连接CH，由
(1)知△ADC∽△ACB，
∴∠ACD = ∠ABC.

又
∵BM，CM分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ABM = ∠CBM = ∠DCM = ∠ACM.
∴∠BMC = 180°−∠MBC−∠BCD−∠DCM = 180°−∠ABM−∠CBM−∠BCD = ∠BDC.
由勾股定理可得
CH = $\sqrt{10}$，CD = $\sqrt{10}$，DH = 2$\sqrt{5}$，
∴CH² + CD² = 20 = DH²，CH = CD.
∴∠DCH = 90°.
∴∠BDC = 45° = ∠BMC.