《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 下列方程没有实数根的是(C).
A.$x^{2}= 0$
B.$x^{2}+x= 0$
C.$x^{2}+x+1= 0$
D.$x^{2}+x - 1= 0$

答案： C

2. 若关于$x的方程x^{2}-4x+m= 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为(B).
A.$m\leqslant4$
B.$m\lt4$
C.$m\geqslant4$
D.$m\gt4$

答案： B

3. 已知方程$x^{2}-3x+1= 0的两个根分别是x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$的值为(C).
A.$-6$
B.$-3$
C.$3$
D.$6$

答案： C

4. 若$\alpha$,$\beta是一元二次方程3x^{2}+2x - 9= 0$的两个根,则$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$的值是(C).
A.$\frac{4}{27}$
B.$-\frac{4}{27}$
C.$-\frac{58}{27}$
D.$\frac{58}{27}$

答案： C

5. 定义新运算：$a*b= a(m - b)$,若方程$x^{2}-mx+4= 0$有两个相等的正实数根,且$b*b= a*a$(其中$a\neq b$),则$a + b$的值为(B).
A.$-4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$

答案： B 解析:
∵方程$x^{2}-mx+4=0$有两个相等的实数根,
∴$\Delta=(-m)^{2}-4×4=0$,解得$m_{1}=4$,$m_{2}=-4$,当$m=-4$时,方程有两个相等的负实数根,与题意不符,
∴$m=4$.
∴$a*b=a(4-b)$.
∵$b*b=a*a$,
∴$b(4-b)=a(4-a)$.整理得$a^{2}-b^{2}-4a+4b=0$,即$(a-b)(a+b-4)=0$.
∵$a≠b$,
∴$a+b-4=0$,即$a+b=4$.故选 B.

6. 一次酒会上,每两人都只能碰一次杯,若一共碰杯$55$次,则参加酒会的有11人.

答案： 11

7. 某县为节约用水,自建了一座污水净化站,今年一月份净化污水$3$万吨,三月份净化污水$3.63$万吨,则从一月份到三月份,净化的污水量每月平均增长的百分率为10%.

答案： 10%

8. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}+x - 1= 0$；
(2)$(x + 1)^{2}= 6x + 6$.

答案：
(1)这里$a=1$,$b=1$,$c=-1$.
∵$\Delta=1^{2}-4×1×(-1)=5＞0$,
∴$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,即$x_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
(2)原方程可变形为$(x+1)^{2}-6(x+1)=0$,即$(x+1)(x+1-6)=0$.
∴$(x+1)(x-5)=0$,
∴$x+1=0$或$x-5=0$,
∴$x_{1}=-1$,$x_{2}=5$.

9. 【2023 遂宁中考】我们规定：对于任意实数$a$,$b$,$c$,$d有[a,b]*[c,d]= ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如：$[3,2]*[5,1]= 3×5 - 2×1= 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
(2)已知关于$x的方程[x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0$有两个实数根,求$m$的取值范围.

答案：
(1)
∵$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,
∴$[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=-8+18=10$.
(2)
∵$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$,
∴$x\cdot(mx+1)-(2x-1)\cdot m=0$,整理,得$mx^{2}+(1-2m)x+m=0$.
∵关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,
∴$\Delta=b^{2}-4ac=(1-2m)^{2}-4m^{2}\geq0$,且$m≠0$,解得$m\leq\frac{1}{4}$且$m≠0$.

10. 关于$x的方程(k - 1)x^{2}-x + 1= 0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)设$x_{1}$,$x_{2}$是方程的两个实数根,且满足$(x_{1}+1)\cdot(x_{2}+1)= k - 1$,求$k$的值.

答案：
(1)
∵关于$x$的方程$(k-1)x^{2}-x+1=0$有实数根,
①当方程为一元二次方程时,有$\Delta=(-1)^{2}-4(k-1)\geq0$且$k-1≠0$,
∴$k\leq\frac{5}{4}$且$k≠1$.
②当方程为一元一次方程时,有$k-1=0$,
∴$k=1$.
综上,$k$的取值范围为$k\leq\frac{5}{4}$.
(2)
∵$x_{1}$,$x_{2}$是方程的两个实数根,
∴$x_{1}+x_{2}=\frac{1}{k-1}$,$x_{1}x_{2}=\frac{1}{k-1}$.
∵$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=k-1$,
∴$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=k-1$,
∴$\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k-1}+1=k-1$,解得$k=3$或$k=0$,经检验,$k=3$或$k=0$都是原分式方程的根.由
(1)知,当$k\leq\frac{5}{4}$且$k≠1$时,方程有两个实数根,
∴$k=0$.