《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在$□ ABCD$中,$AM$,$CN分别是\angle BAD和\angle BCD$的平分线,添加一个条件,仍无法判断四边形$AMCN$为菱形的是(D).

A.$AM= AN$
B.$MN\perp AC$
C.$MN是\angle AMC$的平分线
D.$\angle BAD= 120^{\circ}$

答案： D

7. 如图,$O是菱形ABCD的对角线AC$,$BD$的交点,$E$,$F分别是OA$,$OC$的中点,连接$DE$,$DF$,$BE$,$BF$,下列结论：①$S_{\triangle ADE}= S_{\triangle EOD}$；②四边形$BFDE$是菱形；③$\triangle DEF$是轴对称图形；④$\angle ADE= \angle EDO$. 其中正确的有(C).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$BC的垂直平分线DE交BC于D$,交$AB于E$,$F在DE$的延长线上,并且$AF= CE$.
(1)求证：四边形$ACEF$是平行四边形；
(2)当$\angle B$满足什么条件时,四边形$ACEF$是菱形？请回答并证明你的结论.

答案：

(1)证明:如图,
∵ED是BC的垂直平分线,
∴EB=EC,ED⊥BC.
∴∠3=∠4.
∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,
∴FE//AC.
∴∠1=∠5.
∵∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,
∴∠1=∠2.
∴AE=CE.又
∵AF=CE,
∴AE=AF.
∴∠5=∠F.
∴∠2=∠F.在△EFA和△ACE中,∠5=∠1,∠F=∠2,AF=EC,
∴△EFA≌△ACE(AAS).
∴∠EAF=∠AEC.
∴AF//CE.又
∵FE//AC,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.证明如下:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠1=∠2=60°.
∴∠AEC=60°.
∴AC=EC.
∴四边形ACEF是菱形.

9. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$BC= 5\sqrt{3}$,$\angle C= 30^{\circ}$. 点$D从点C出发沿CA$方向以每秒2个单位长度的速度向点$A$匀速运动,同时点$E从点A出发沿AB$方向以每秒1个单位长度的速度向点$B$匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动. 设点$D$,$E运动的时间是t\mathrm{s}(t＞0)$. 过点$D作DF\perp BC于点F$,连接$DE$,$EF$.
(1)直接写出在运动过程中,线段$AE和DF$的数量关系为______.
(2)四边形$AEFD$能够成为菱形吗？如果能,求出相应的$t$值；如果不能,请说明理由.
(3)当$t$为何值时,$\triangle DEF$为直角三角形？请说明理由.

答案：

(1)AE=DF
(2)解:能.在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5√3,∠C=30°,
∴设AB=x(x＞0),则AC=2x.
∴AC²=AB²+BC²,即4x²=x²+(5$\sqrt{3}$)²,解得x=5.
∴AB=5,AC=10.
∴AD=AC−CD=10−2t.
∵AB⊥BC,DF⊥BC,且AE=DF,
∴四边形AEFD是平行四边形.若AD=AE,则平行四边形AEFD是菱形.
∴10−2t=t,解得t=$\frac{10}{3}$.
∴当t=$\frac{10}{3}$时,四边形AEFD是菱形.
(3)解:当t=$\frac{5}{2}$或t=4时,△DEF为直角三角形.理由如下:①如图①,当∠EDF=90°时,△DEF为直角三角形.
∵DF⊥BC,即∠DFB=90°,
∴∠EDF+∠DFB=180°.
∴ED//BC.
∴∠EDA=∠C=30°,∠AED=∠ABC=90°.在Rt△AED中,∠EDA=30°,
∴AD=2AE,即10−2t=2t,解得t=$\frac{5}{2}$.②如图②,当∠DEF=90°时,△DEF为直角三角形.
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,
∴∠A=60°.可知AE=DF,AE//DF,
∴四边形AEFD是平行四边形,
∴AD//EF.
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∴∠AED=30°,在Rt△AED中,∠AED=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$AE,即10−2t=$\frac{1}{2}$t,解得t=4.③当∠EFD=90°时,
∵DF⊥BC,∠DFC=90°,点F在BC上,
∴当∠EFD=90°时,点E在BC上,即点E与点B重合,则点D与点A重合,不符合题意.
∴此种情况不存在.综上,当t=$\frac{5}{2}$或t=4时,△DEF为直角三角形.