《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$F是边AB$的中点,点$D$,$E分别在边AC$,$BC$上运动,且保持$AD = CE$. 连接$DE$,$DF$,$EF$. 在此运动变化的过程中,下列结论：①$\triangle DFE$是等腰直角三角形；②四边形$CDFE$不可能为正方形；③$DE长度的最小值为3\sqrt{2}$；④四边形$CDFE$的面积保持不变；⑤$\triangle CDE面积的最大值为4$. 其中,正确的结论是(C).

A.①②④
B.①④⑤
C.①③④
D.①③④⑤

答案： C

7. 如图,在叠小纸船时,其中某一步需要先将图①的正方形纸片$ABCD分别沿四等分线IJ$,$KL$,$MN$,$OP$折叠一次,再分别沿二等分线$EF$,$EG$,$GH$,$FH$折叠一次,得到图②形状. 若正方形$ABCD的边长为8$,则折叠后的四边形$EIJF$的面积为6.

答案： 6

8. 如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,点$M为AD$的中点,过点$M作MN// BD交CD的延长线于点N$.
(1)求证：四边形$MNDO$是平行四边形；
(2)请直接写出当$AB与BD$满足什么关系时,四边形$MNDO$是正方形.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.　又
∵点M为AD的中点，
∴OM//CD.　又
∵MN//BD,
∴四边形MNDO是平行四边形.　
(2)解:AB=BD且AB⊥BD.

9. (新定义)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
(1)如图①,在四边形$ABCD$中,点$E$,$F$,$G$,$H分别为边AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点. 求证：中点四边形$EFGH$是平行四边形；
(2)如图②,点$P是四边形ABCD$内一点,且满足$PA = PB$,$PC = PD$,$\angle APB = \angle CPD$,点$E$,$F$,$G$,$H分别为边AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,判断中点四边形$EFGH$的形状,并说明理由；
(3)若改变(2)中的条件,使$\angle APB = \angle CPD = 90^{\circ}$,其他条件不变,直接写出中点四边形$EFGH$的形状(不必证明).

答案：

(1)证明:如图①,连接BD.　　　　　　　
∵点E,H分别为边AB,DA的中点，
∴EH//BD,EH=$\frac{1}{2}$BD.
∵点F，G分别为边BC,CD的中点，
∴FG//BD,FG=$\frac{1}{2}$BD.
∴EH//FG,EH=FG.
∴中点四边形EFGH是平行四边形.　
(2)解:四边形EFGH是菱形.　理由如下:如图②，连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD.　在△APC和△BPD中,PA=PB,∠APC=∠BPD,PC=PD,
∴△APC≌△BPD(SAS).
∴AC=BD.
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC,FG=$\frac{1}{2}$BD.
∴EF=FG.　又由
(1)中结论知四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形.
(3)解:四边形EFGH是正方形.