《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

知识点1 一元二次方程配方的方法
1. 配方的关键：(1)当二次项系数为1时,方程两边加一次项系数一半的平方；(2)当二次项系数不为1时,需将方程两边同时除以二次项系数,化二次项系数为1后再配方。
知识点2 用配方法解一元二次方程
2. 把方程左边配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法；配方的目的是使方程能用直接开平方法来解。

答案： 1.
(1)一半　
(2)除以 2.完全平方;直接开平方法

【例】用配方法把一元二次方程$x^{2}+6x+1= 0配成(x+p)^{2}= q$的形式,其结果是(A)。
A.$(x+3)^{2}= 8$
B.$(x-3)^{2}= 1$
C.$(x-3)^{2}= 10$
D.$(x+3)^{2}= 4$

答案： A

1. 用配方法解方程$x^{2}-3x= 4$,应把方程的两边同时(B)。
A.加上$\frac{3}{2}$
B.加上$\frac{9}{4}$
C.减去$\frac{3}{2}$
D.减去$\frac{9}{4}$

答案： B

2. 配方法解方程$x^{2}-10x-8= 0$,下列配方结果正确的是(D)。
A.$(x-5)^{2}= 25$
B.$(x-2.5)^{2}= 8$
C.$(x-2.5)^{2}= 11$
D.$(x-5)^{2}= 33$

答案： D

3. (易错题)解方程$2x^{2}-4x-1= 0$时,方程可变形为$2(x-m)^{2}= n$,则$m$,$n$的值分别为(B)。
A.$1,\frac{3}{2}$
B.$1,3$
C.$-1,2$
D.$1,2$

答案： B

4. 已知代数式$x^{2}+2x+5可以利用完全平方公式变形为(x+1)^{2}+4$,进而可知$x^{2}+2x+5$的最小值是4.依此方法,代数式$y^{2}-6y+10$的最小值是1。

答案： 1

5. 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成$(x-m)^{2}= p$的形式,那么就有：
(1)当$p＞0$时,方程有两个不相等的实数根,即$x_{1}= $$m-\sqrt{p}$,$x_{2}= $$m+\sqrt{p}$；
(2)当$p= 0$时,方程有两个相等的实数根,即$x_{1}= x_{2}= $$m$；
(3)当$p＜0$时,方程没有实数根。

答案：
(1)$m-\sqrt{p}$;$m+\sqrt{p}$　
(2)m　
(3)没有

6. 用配方法解方程：
(1)$x^{2}-6x-9= 0$；
(2)$3x^{2}-6x+1= 0$；
(3)$x^{2}-10x+25= 2(x-5)$。

答案： 解:
(1)移项,得$x^{2}-6x=9$, 配方,得$x^{2}-6x+9=18$,即$(x-3)^{2}=18$, 直接开平方,得$x-3=\pm 3\sqrt{2}$, 解得$x_{1}=3+3\sqrt{2}$,$x_{2}=3-3\sqrt{2}$.
(2)
∵$3x^{2}-6x+1=0$,
∴$x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$,
∴$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$,
∴$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$,
∴$(x-1)^{2}=\frac{2}{3}$,
∴$x-1=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴$x_{1}=\frac{3+\sqrt{6}}{3}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$.
(3)整理得$x^{2}-12x+35=0$,
∴$x^{2}-12x=-35$. 配方得$(x-6)^{2}=-35+36$,
∴$(x-6)^{2}=1$,
∴$x-6=\pm 1$,
∴$x_{1}=7$或$x_{2}=5$.