《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是(B).

答案： B

8. 如图,在长为 $8\ cm$、宽为 $4\ cm$ 的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下的矩形的面积是(C).

A.$2\ cm^2$
B.$4\ cm^2$
C.$8\ cm^2$
D.$16\ cm^2$

答案： C

9. 如图,一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的. 矩形 $ABCD$ 沿 $EF$ 对开后,再把矩形 $EFCD$ 沿 $MN$ 对开,依此类推. 若各种开本的矩形都相似,那么 $\frac{AB}{AD}$ 等于(B).

A.$0.618$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案： B 解析:由题意,得矩形ABCD与矩形AEFB相似,则$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AE}$.
∵$AE=\frac{1}{2}AD$,
∴$AB^2=\frac{1}{2}AD^2$.
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$(负值舍去).

10. 如图,多边形 $ABCDEF$ 和多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ 相似(各字母已按对应关系排列),$\angle A = \angle D_1 = 135°$,$\angle B = \angle E_1 = 120°$,$\angle C_1 = 95°$.
(1)求 $\angle F$ 的度数;
(2)如果多边形 $ABCDEF$ 和多边形 $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ 的相似比是 $1:1.5$,且 $CD = 15\ cm$,求 $C_1D_1$ 的长度.

答案： 解:
(1)
∵多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$相似,$∠C$和$∠C_1$,$∠D$和$∠D_1$,
$∠E$和$∠E_1$是对应角,$∠C_1=95°$,$∠D_1=135°$,
$∠E_1=120°$,
∴$∠C=95°$,$∠D=135°$,$∠E=120°$.
由多边形内角和定理及$∠A=135°$,$∠B=120°$,得
$∠F=(6-2)×180°-(135°+120°+95°+135°+120°)=115°$.
(2)
∵多边形ABCDEF和多边形$A_1B_1C_1D_1E_1F_1$的相似比是$1:1.5$,且CD=15 cm,
∴$C_1D_1=15×1.5=22.5$(cm).

11. 如图,已知在矩形 $ABCD$ 中,四边形 $ABEF$ 是正方形,且矩形 $ABCD \backsim$ 矩形 $FDCE$,求矩形 $ABCD$ 的宽与长的比.

答案： 解:由题意,得AB=CD,AD=BC.
∵四边形ABEF是正方形,
∴BE=AB=CD.
∵矩形ABCD∽矩形FDCE,
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CD}{CE}$.
∴$CD^2=BC·CE=BC·(BC-BE)=BC·(BC-CD)$,
∴$AB^2=AD·(AD-AB)$,
即$AB^2+AB·AD-AD^2=0$.
方程两边同除以$AD^2$,得$(\frac{AB}{AD})^2+\frac{AB}{AD}-1=0$,
解得$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(负值舍去).
故矩形ABCD的宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.