《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

14. 在平面直角坐标系中,四边形 $AOBC$ 是矩形,点 $O(0, 0)$,$A(6, 0)$,$B(0, 8)$。以点 $A$ 为中心,顺时针旋转矩形 $AOBC$,得到矩形 $ADEF$,点 $O$,$B$,$C$ 的对应点分别为点 $D$,$E$,$F$,记旋转角为 $\alpha$。
(1) 如图①,当 $\alpha = 30°$ 时,求点 $D$ 的坐标；
(2) 如图②,当点 $E$ 落在 $AC$ 的延长线上时,求点 $D$ 的坐标。

答案：
(1) 过点D作DG⊥x轴于点G，旋转中心为A(6,0)，OA=6，旋转角α=30°，则AD=OA=6。在Rt△ADG中，∠DAG=30°，DG=AD·sin30°=6×1/2=3，AG=AD·cos30°=6×√3/2=3√3，OG=OA-AG=6-3√3，故D(6-3√3,3)。
(2) 由题意，A(6,0)，C(6,8)，AC延长线为x=6。E为B(0,8)旋转后对应点，AE=AB=√(6²+8²)=10，E在x=6上，故E(6,10)。设D(x,y)，AD=OA=6，旋转角α满足cosα=4/5，sinα=3/5。由旋转公式，D点坐标为(6-6cosα,0+6sinα)=(6-6×4/5,6×3/5)=(6/5,18/5)。
(1)(6-3√3,3)
(2)(6/5,18/5)

15. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90°$,$AC = BC = 4$,$D$ 是 $AB$ 的中点,$E$,$F$ 分别是 $AC$,$BC$ 上的点(点 $E$ 不与端点 $A$,$C$ 重合),且 $AE = CF$,连接 $EF$ 并取 $EF$ 的中点 $O$,连接 $DO$ 并延长至点 $G$,使 $GO = OD$,连接 $GE$,$GF$,$DE$,$DF$。
(1) 求证：四边形 $EDFG$ 是正方形；
(2) 当点 $E$ 在什么位置时,四边形 $EDFG$ 的面积最小？最小面积是多少？(直接写出答案)

答案： 解:
(1)证明:
∵O 是 EF 的中点，GO=OD，
∴四边形 EDFG 是平行四边形.连接 CD.
∵D 是 AB 的中点，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠DCF=(1/2)∠ACB=45°，
CD⊥AB，AD=CD.
∴∠A=∠DCF.
在△ADE 和△CDF 中，AE=CF，∠A=∠DCF，AD=CD，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.
∴四边形 EDFG 是正方形.
(2)解:当点 E 为线段 AC 的中点时，四边形 EDFG 的面积最小，最小面积为 4.