《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD平分\angle ACB$,$DE// BC$,$AD:DB = 7:5$,$AC = 24$,求$DE$的长.

答案： 解:
∵DE//BC,
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{7}{5}$.
又
∵AC=24,
∴EC=$\frac{5}{12}$AC=10.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∵DE//BC,
∴∠EDC=∠DCB.
∴∠ACD=∠EDC.
∴DE=EC=10.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是AB$边上的一点.
(1)尺规作图：在$\triangle ABC$内,求作$\angle ADE = \angle B$,$DE交AC于点E$；(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若$\frac{AD}{DB} = 2$,求$\frac{AE}{EC}$的值.

答案：

(1)如图,∠ADE 为所求作的角.

(2)
∵∠ADE=∠B,
∴DE//BC.
又
∵$\frac{AD}{DB}=2$,
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=2$.

3. 如图,$E为□ ABCD的边CD$延长线上的一点,连接$BE$,交$AC于点O$,交$AD于点F$. 求证：$OB^{2} = OF\cdot OE$.

答案： 证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB//CD,AD//BC.
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OA}{OC}$,$\frac{OA}{OC}=\frac{OF}{OB}$.
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OF}{OB}$,即$OB^2=OF·OE$.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$D为BC$边上一点,连接$AD$,$H为AD$的中点,延长$BH交AC于点E$. 求证：$\frac{AE}{CE} = \frac{BD}{BC}$.

答案：
证明:过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F,如图,
∵H 为 AD 的中点,
∴AH=HD.
∵DF//BE,

∴$\frac{AH}{HD}=\frac{AE}{EF}$,$\frac{EF}{EC}=\frac{BD}{BC}$.
∴AE=EF.
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BD}{BC}$.