《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 如图,正方形 ABCD 的边长为 3,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且∠CFE= $60^{\circ}$,将四边形 BCFE 沿 EF 翻折,得到四边形 $B'C'FE$,$C'$恰好落在 AD 边上,$B'C'$交 AB 于点 G,则 GE 的长是(C)。

A.$3\sqrt{3}-4$
B.$4\sqrt{2}-5$
C.$4-2\sqrt{3}$
D.$5-2\sqrt{3}$

答案： C

8. (规律探究)【2023 池州期中】如图,正方形 $A_1B_1C_1O$,$A_2B_2C_2C_1$,$A_3B_3C_3C_2$,…按如图的方式放置,点 $A_1$,$A_2$,$A_3$,…和点 $C_1$,$C_2$,$C_3$,…分别在直线 $y = x + 1$ 和 x 轴上,则点 $B_{2023}$ 的纵坐标是(D)。

A.$2^{2019}$
B.$2^{2020}$
C.$2^{2021}$
D.$2^{2022}$

答案： D

9. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,∠EAF= $45^{\circ}$,AE= AF,则下列结论：①∠1= ∠2= $22.5^{\circ}$；②点 C 到 EF 的距离是 $\sqrt{2}-1$；③△ECF 的周长为 2；④BE+DF＞EF。其中正确的结论是①②③。(写出所有正确结论的序号)

答案： ①②③

10. 如图,点 E 是正方形 ABCD 外一点,点 F 是线段 AE 上一点,△EBF 是等腰直角三角形,其中∠EBF= $90^{\circ}$,连接 CE,CF。
(1) 求证：△ABF≌△CBE；
(2) 判断△CEF 的形状,并说明理由。

答案：
(1)证明:$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore AB=CB$,$\angle ABC=90°$.$\because \triangle EBF$是等腰直角三角形,其中$\angle EBF=90°$,$\therefore BE=BF$.$\therefore \angle ABC-\angle CBF=\angle EBF-\angle CBF$.$\therefore \angle ABF=\angle CBE$.在$\triangle ABF$和$\triangle CBE$中,$AB=CB$,$\angle ABF=$$\angle CBE$,$BF=BE$,$\therefore \triangle ABF\cong\triangle CBE(SAS)$.
(2)解:$\triangle CEF$是直角三角形.理由如下:$\because \triangle EBF$是等腰直角三角形,$\therefore \angle BFE=\angle FEB=45°$.$\therefore \angle AFB=180°-\angle BFE=135°$.又$\because \triangle ABF\cong\triangle CBE$,$\therefore \angle CEB=\angle AFB=135°$.$\therefore \angle CEF=\angle CEB-\angle FEB=135°-45°=90°$.$\therefore \triangle CEF$是直角三角形.

11. 如图①,在正方形 ABCD 中,P 为对角线 BD 上的一点,点 E 在 AD 的延长线上,且 PA= PE,PE 交 CD 于点 F,连接 CE,CP。
(1) 求证：△PCE 是等腰直角三角形；
(2) 如图②,把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD,其他条件不变,当∠ABC= $120^{\circ}$时,判断△PCE 的形状,并说明理由。

答案：
(1)证明:$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore AD=DC$,$\angle ADB=\angle CDB=45°$,$\angle ADC=90°$.在$\triangle PDA$和$\triangle PDC$中,$PD=PD$,$\angle PDA=$$\angle PDC$,$DA=DC$,$\therefore \triangle PDA\cong\triangle PDC$.$\therefore PA=PC$,$\angle DAP=\angle DCP$.$\because PA=PE$,$\therefore \angle PAD=\angle PEA$,$PE=PC$.$\therefore \angle PCD=\angle PED$.$\because \angle DFE=\angle CFP$,$\therefore \angle CPF=\angle EDF=90°$.$\therefore \triangle PCE$是等腰直角三角形.
(2)解:结论:$\triangle PCE$是等边三角形.理由如下:$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AD=DC$,$\angle ADB=\angle CDB$,$\angle ADC=\angle ABC=120°$.在$\triangle PDA$和$\triangle PDC$中,$PD=PD$,$\angle PDA=$$\angle PDC$,$DA=DC$,$\therefore \triangle PDA\cong\triangle PDC$.$\therefore PA=PC$,$\angle DAP=\angle DCP$.$\because PA=PE$,$\therefore \angle PAD=\angle PEA$,$PE=PC$.$\therefore \angle PCD=\angle PED$.$\because \angle DFE=\angle CFP$,$\therefore \angle CPF=\angle EDF$.$\because \angle ADC=120°$,$\therefore \angle EDC=60°$.$\therefore \angle EPC=60°$.$\therefore \triangle PCE$是等边三角形.