《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}=$$-\dfrac{b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}=$$\dfrac{c}{a}$.
运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根,即$\Delta \geqslant 0$.

答案： $-\dfrac{b}{a}$；$\dfrac{c}{a}$；$\Delta \geqslant 0$

【例】一元二次方程 $x^{2}-3x - 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,则下列结论正确的是(C).
A.$x_{1}x_{2}= 3$
B.$x_{1}+x_{2}= 2$
C.$x_{1}+x_{2}= 3$
D.$x_{1}x_{2}= 2$

答案： C

【例】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}= -2,x_{2}= 4$,则 $m + n$ 的值是(A).
A.$-10$
B.$10$
C.$-6$
D.$2$

答案： A

1. 若方程 $3x^{2}-4x - 4 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}$ 的值为(D).
A.$-4$
B.$3$
C.$-\frac{4}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： D

2. 若 $\alpha,\beta$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$ 的两个根,则 $\alpha\beta$ 的值是(D).
A.$2$
B.$1$
C.$-2$
D.$-1$

答案： D

3. 【2024 六安期中】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx + 3 = 0$ 有一个根为 $1$,则方程的另一个根是(C).
A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$-4$

答案： C

4. 已知实数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}+x_{2}= 7,x_{1}x_{2}= 12$,则以 $x_{1},x_{2}$ 为根的一元二次方程是(A).
A.$x^{2}-7x + 12 = 0$
B.$x^{2}+7x + 12 = 0$
C.$x^{2}+7x - 12 = 0$
D.$x^{2}-7x - 12 = 0$

答案： A

5. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}+5x - 3 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 的值是(C).
A.$19$
B.$25$
C.$31$
D.$30$

答案： C

6. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2x + c = 0$ 有一根为 $-1$,则方程的另一根为(D).
A.$-1$
B.$-3$
C.$1$
D.$3$

答案： D

7. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x - k - 1 = 0$ 的两根,且 $x_{1}x_{2}= -3$,则 $k$ 的值为(B).
A.$-2$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： B

8. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两根,不解方程求下列各式的值：
(1) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$； (2) $(x_{1}-1)(x_{2}-1)$； (3) $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$.

答案： 解：$\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-1=0$的两根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$.
(1)$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{3}{-1}=-3$.
(2)$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=-1-3+1=-3$.
(3)$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{11}{-1}=-11$.