《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 20\ cm$,$BC = 4\ cm$,点 $P$ 从 $A$ 开始沿折线 $A - B - C - D$ 以 $4\ cm/s$ 的速度运动,点 $Q$ 从 $C$ 开始沿 $CD$ 以 $1\ cm/s$ 的速度运动。如果点 $P$,$Q$ 分别从 $A$,$C$ 同时出发,当其中一点到达点 $D$ 时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 $t\ s$,$t$ 为何值时,四边形 $APQD$ 是矩形？

答案： 解:根据题意得点 P 在 AB 上满足题意.易得 CQ=t cm，AP=4t cm，则 BP=(20 - 4t)cm，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠D=90°，CD//AB，
∴只有 CQ=BP 时，四边形 APQD 是矩形，即 t=20 - 4t，解得 t=4，
∴当 t=4 时，四边形 APQD 是矩形.

10. 在菱形 $ABCD$ 中,$\angle B = 60°$,动点 $E$ 在边 $BC$ 上,动点 $F$ 在边 $CD$ 上。
(1) 如图①,若 $E$ 是 $BC$ 的中点,$\angle AEF = 60°$,求证：$BE = DF$；
(2) 如图②,若 $\angle EAF = 60°$,求证：$\triangle AEF$ 是等边三角形。

答案： 证明:
(1)连接 AC.(图略)
∵在菱形 ABCD 中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠BCD=180° - ∠B=120°.
∴△ABC 是等边三角形.
又
∵E 是 BC 的中点，
∴AE⊥BC.
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90° - ∠AEF=30°.
∴∠CFE=180° - ∠FEC - ∠BCD=180° - 30° - 120°=30°.
∴∠FEC=∠CFE.
∴EC=CF.
∴BE=DF.
(2)连接 AC.(图略)由
(1)知△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°.
∴∠BAE=∠CAF.
∵∠BCD=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACF=60°=∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE=AF.
∴△AEF 是等边三角形.

11. 在正方形 $ABCD$ 中,$\angle MAN = 45°$,$\angle MAN$ 绕点 $A$ 顺时针旋转,它的两边分别交 $CB$,$DC$(或它们的延长线)于点 $M$,$N$。
(1) 如图①,当 $\angle MAN$ 绕点 $A$ 旋转到 $BM = DN$ 时,易证：$BM + DN = MN$。当 $\angle MAN$ 绕点 $A$ 旋转到 $BM \neq DN$ 时,如图②,图①中的结论是否还成立？如果成立,请给予证明；如果不成立,请说明理由。
(2) 当 $\angle MAN$ 绕点 $A$ 旋转到如图③的位置时,线段 $BM$,$DN$ 和 $MN$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并证明。

答案： 解:
(1)成立.
证明:过点 A 作 AE⊥AN，交 CB 的延长线于点 E，易证△ABE≌△ADN，
∴DN=BE，AE=AN.
又
∵∠EAM=∠NAM=45°，AM=AM，
∴△EAM≌△NAM.
∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴BM+DN=MN.
(2)DN - BM=MN.证明如下:
如图，在 DN 上截取 DE=BM，连接 AE.