《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

6. 如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E,添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是(D).

A.∠CBA= 2∠A
B.点B是DE的中点
C.CE·CD= CA·CB
D.$\frac{CE}{CA}= \frac{BE}{AD}$

答案： D

7. 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AD= 3,AB= 8,AE= 4,AC= 6.求证：△ADE∽△ACB.

答案： 证明:
∵AD=3,AB=8,AE=4,AC=6,
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.又
∵∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB.

8. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE,BC的延长线交于点F,EF·DF= CF·BF.求证：△CAB∽△DAE.

答案： 证明:
∵EF·DF=CF·BF,
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}$.又
∵∠EFC=∠BFD,
∴△EFC∽△BFD.
∴∠CEF=∠B.又
∵∠CEF=∠AED,
∴∠B=∠AED.
∵∠CAB=∠DAE,
∴△CAB∽△DAE.

9. 如图,在△ABP中,C,D分别是AP,BP上的点.若CD= CP= 4,DP= 5,AC= 6,BD= 3.
(1)求证：△ABP∽△DCP；
(2)求AB的长.

答案：
(1)证明:
∵CD=CP=4,DP=5,AC=6,BD=3,
∴AP=AC+CP=6+4=10,BP=BD+DP=3+5=8.
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{5}{4}$,$\frac{AP}{BP}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$.
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{AP}{BP}$.
∵∠DPC=∠APB,
∴△ABP∽△DCP.
(2)解:
∵△ABP∽△DCP,
∴$\frac{AB}{BP}=\frac{CD}{CP}$,即$\frac{AB}{8}=\frac{4}{4}$,
∴AB=8.

10. 如图,在△ABC中,AB= 6cm,AC= 12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/s,点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动,多长时间后,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似？

答案： 解:设运动t s时,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AD=t cm,CE=2t cm,AE=AC-CE=(12-2t)cm.①当D与B对应时,有△ADE∽△ABC.
∴AD:AB=AE:AC.
∴t:6=(12-2t):12,
∴t=3;②当D与C对应时,有△ADE∽△ACB.
∴AD:AC=AE:AB,
∴t:12=(12-2t):6,
∴t=4.8.综上,当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是3 s或4.8 s.