《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

6. 如图,把矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折叠,设重叠部分为$\triangle BDE$,下列说法错误的是(A).

A.$\angle ABE = \angle CBD$
B.$BE = DE$
C.$\angle ABD = \angle BDC$
D.$\triangle ABE \cong \triangle CDE$
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答案： A

7. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$CE // BD$,$DE // AC$. 若 $AC = 4$,则四边形 $OCED$ 的周长为(B).

A.$4$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： B

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 10$,$BC = 12$,点 $E$ 是 $CD$ 的中点,连接 $AE$,作 $BF \perp AE$ 于点 $F$,则 $BF$ 的长为(D).

A.$\frac{60}{13}$
B.$\frac{25}{6}$
C.$\frac{65}{6}$
D.$\frac{120}{13}$
]

答案： D

9. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,延长 $CB$ 到点 $E$,使 $BE = BC$,连接 $AE$.
(1)求证：四边形 $ADBE$ 是平行四边形；
(2)若 $AB = 4$,$OB = \frac{5}{2}$,求$□ ADBE$ 的周长.
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答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD//BC,AD=BC.又
∵BE=BC,且BE与BC在一条直线上,
∴AD//BE,且AD=BE.
∴四边形ADBE是平行四边形.
(2)解:
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ABC=90°,AC=2OB=5.
∴在Rt△ABC中,BC=√(AC²-AB²)=√(5²-4²)=3.
∴BE=BC=3.又
∵BD=AC=5,
∴□ADBE的周长为2×(5+3)=16.

10. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$BC = 4$. $M$,$N$ 在对角线 $AC$ 上,且 $AM = CN$,$E$,$F$ 分别是 $AD$,$BC$ 的中点.
(1)求证：$\triangle ABM \cong \triangle CDN$；
(2)若 $G$ 是对角线 $AC$ 上的点,$\angle EGF = 90^{\circ}$,求 $AG$ 的长.
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答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠MAB=∠NCD.在△ABM和△CDN中,AB=CD,∠MAB=∠NCD,AM=CN,
∴△ABM≌△CDN(SAS).
(2)解:连接EF,交AC于点O.
∵四边形ABCD为矩形,
∴AD//BC,AD=BC.
∴∠EAO=∠FCO.
∵E,F分别是AD,BC的中点,AD=BC,
∴AE=CF.在△AEO和△CFO中,∠EAO=∠FCO,∠EOA=∠FOC,AE=CF,
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴EO=FO,AO=CO,
∴O为EF,AC的中点.易知EF=3.又
∵∠EGF=90°,
∴OG=1/2EF=3/2.
∵AC=√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5,
∴OA=5/2,
∴AG=OA-OG=1或AG=OA+OG=4,
∴AG的长为1或4.