《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 某品牌服装店以 900 元/件的价格销售一款服装,“双 11”期间,服装店连续两次下调销售价格后,最终以 729 元/件的价格销售该款服装.
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调 $ 5\% $,再下调 $ 15\% $,这样更有吸引力,请问：小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？

答案： 解:
(1)设平均每次下调的百分率为$x$,
由题意得$900(1-x)^{2}=729$,
解得$x_{1}=0.1=10\%$,$x_{2}=1.9$(不符合题意,舍去),
答:平均每次下调的百分率为$10\%$.
(2)小明建议的方案对购买者更优惠.理由如下:
由题意得$900× (1-5\%)(1-15\%)=726.75$(元).
$\because 726.75＜729$,
$\therefore$小明建议的方案对购买者更优惠.

8. 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤,第一个月以单价 80 元的价格销售,售出了 200 件；第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 10 件,但最低单价应高于购进的价格. 第二个月结束后,批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售,清仓单价为 40 元. 如果批发商希望销售完这批 T 恤共获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元？

答案： 解:设第二个月的单价降低$x$元,则第二个月的单价是$(80-x)$元,
根据题意,得$80× 200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50× 800=9\ 000$,
整理,得$x^{2}-20x+100=0$,解得$x_{1}=x_{2}=10$,
当$x=10$时,$80-x=70＞50$,符合题意.
$\therefore$第二个月的单价应是$70$元.

9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(m + 3)x + m + 1 = 0 $.
(1)求证：不论 $ m $ 为何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为 4,且某一等腰三角形是以此方程的两根为边长,求此三角形的周长.

答案：
(1)证明:由题意可知$\Delta =[-(m+3)]^{2}-4(m+1)=m^{2}+2m+5=m^{2}+2m+1+4=(m+1)^{2}+4$.
$\because (m+1)^{2}\geq 0$,$\therefore \Delta ＞0$,
$\therefore$不论$m$为何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:把$x=4$代入$x^{2}-(m+3)x+m+1=0$,
得$m=\frac{5}{3}$,$\therefore$原方程可化为$3x^{2}-14x+8=0$,
解得$x_{1}=4$,$x_{2}=\frac{2}{3}$.
当$\frac{2}{3}$为腰长时,以$\frac{2}{3},\frac{2}{3},4$为长度的线段构不成三角形;当$4$为腰长时,以$4,4,\frac{2}{3}$为长度的线段可构成等腰三角形.
$\therefore$该三角形的周长为$4+4+\frac{2}{3}=\frac{26}{3}$.

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 4x^{2}+4(m - 1)x + m^{2} = 0 $.
(1)当 $ m $ 在什么范围内取值时,方程有两个实数根？
(2)设方程有两个实数根 $ x_{1} $,$ x_{2} $,当 $ m $ 为何值时,$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = 17 $？
(3)若方程有两个实数根 $ x_{1} $,$ x_{2} $,$ x_{1} $ 和 $ x_{2} $ 能否同号？若能同号,请求出相应的 $ m $ 的取值范围；若不能同号,请说明理由.

答案： 解:
(1)$\Delta =[4(m-1)]^{2}-4× 4m^{2}=-32m+16$.
令$\Delta \geq 0$,即$-32m+16\geq 0$,解得$m\leq \frac{1}{2}$.
$\therefore$当$m\leq \frac{1}{2}$时,方程有两个实数根.
(2)根据根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=-\frac{4(m-1)}{4}=1-m$,$x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}}{4}$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=17$,$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=17$.
$\therefore (1-m)^{2}-\frac{m^{2}}{2}=17$.解得$m_{1}=8$,$m_{2}=-4$.
$\because$当$m\leq \frac{1}{2}$时,方程有两个实数根,$\therefore m=-4$.
即当$m=-4$时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=17$.
(3)$x_{1}$和$x_{2}$能同号.由
(1)知,当$m\leq \frac{1}{2}$时,方程有两个实数根,
由
(2)知,$x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}}{4}$.
$\because x_{1}$和$x_{2}$同号,$\therefore \frac{m^{2}}{4}＞0$,$\therefore m\neq 0$.
$\therefore m$的取值范围是$m\leq \frac{1}{2}$且$m\neq 0$.