《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在线段BA$上,请添加一条件使$\triangle BCD\backsim\triangle BAC$,则下列条件中不正确的是(A)。

A.$AC^{2}= AD\cdot AB$
B.$BC^{2}= BD\cdot BA$
C.$\angle A= \angle BCD$
D.$\angle ADC+\angle BCA= 180^{\circ}$

答案： A

2. 如图,已知$\triangle ABC$,$\triangle DCE$,$\triangle FEG$,$\triangle HGI是4$个全等的等腰三角形,底边$BC$,$CE$,$EG$,$GI$在同一条直线上,且$AB= 2$,$BC= 1$,连接$AI$,交$FG于点Q$,则$QI= $$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$ 解析:由题意得出$BI=4$,则$\frac{AB}{BI}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$.
又$\because \angle ABI=\angle CBA$,
$\therefore \triangle ABI \backsim \triangle CBA$.
$\therefore \triangle ABI$是等腰三角形,
$\therefore AI=BI=4$.
根据全等三角形的性质可得$\angle ACB=\angle FGE$,
$\therefore AC// QG$,$\therefore \frac{QI}{AI}=\frac{GI}{CI}=\frac{1}{3}$.
$\therefore QI=\frac{1}{3}AI=\frac{4}{3}$.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$E分别是边BC$,$AC$上的点,且$\angle ADE= \angle C$。求证：$AC\cdot CE= CD\cdot BD$。

答案： 证明:$\because AB=AC$,$\therefore \angle B=\angle C$.
$\because \angle ADE=\angle C$,$\therefore \angle B=\angle ADE$.
$\because \angle ADC=\angle ADE+\angle EDC=\angle B+\angle BAD$,
$\therefore \angle EDC=\angle BAD$.
$\therefore \triangle ABD \backsim \triangle DCE$,$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$.
$\therefore AB\cdot CE=CD\cdot BD$.
$\therefore AC\cdot CE=CD\cdot BD$.

4. 如图,已知点$D$,$E分别为\triangle ABC的边AC$,$AB$上的点,$BD$,$CE交于点O$,且$\frac{EO}{BO}= \frac{DO}{CO}$,试问：$\triangle ADE与\triangle ABC$相似吗？请说明理由。

答案： 解:相似.理由如下:$\because \frac{EO}{BO}=\frac{DO}{CO}$,$\therefore \frac{EO}{DO}=\frac{BO}{CO}$.
$\because \angle BOE=\angle COD$,$\angle DOE=\angle COB$,
$\therefore \triangle BOE \backsim \triangle COD$,$\triangle DOE \backsim \triangle COB$.
$\therefore \angle EBO=\angle DCO$,$\angle DEO=\angle CBO$.
$\because \angle ADE=\angle DCO+\angle DEO$,$\angle ABC=\angle EBO+\angle CBO$,$\therefore \angle ADE=\angle ABC$.
又$\because \angle A=\angle A$,$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$.

5. 【2024 六安期末】如图,在$□ ABCD$中,点$E是AD$的中点,连接$CE并延长交BA的延长线于点F$。
(1)求证：$AF= AB$；
(2)点$G是线段AF$上一点,连接$CG$,满足$CF平分\angle DCG$,$CG交AD于点H$,$AG= 3$,$FG= 6$,求$CH$的长。

答案：
(1)证明:在$□ ABCD$中,$AB// CD$,$AB=CD$,
$\therefore \angle EAF=\angle D$.
$\because E$是$AD$的中点,
$\therefore EA=ED$.
在$\triangle EAF$和$\triangle EDC$中,$\begin{cases}\angle EAF=\angle D, \\ EA=ED, \\ \angle AEF=\angle DEC,\end{cases}$
$\therefore \triangle EAF≌\triangle EDC(ASA)$.
$\therefore AF=DC$.$\therefore AF=AB$.
(2)解:由
(1)知,$AB// CD$,则$AF// CD$,
$\therefore \triangle AGH \backsim \triangle DCH$.
$\therefore \frac{AG}{DC}=\frac{GH}{CH}$.
$\because AG=3$,$FG=6$,$\therefore AF=CD=9$.
$\therefore \frac{GH}{CH}=\frac{AG}{CD}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.$\therefore CH=\frac{3}{4}CG$.
$\because AF// CD$,$\therefore \angle DCF=\angle F$.
又$\because CF$平分$\angle DCG$,
$\therefore \angle DCF=\angle GCF$.
$\therefore \angle F=\angle GCF$.$\therefore CG=FG=6$.
$\therefore CH=\frac{3}{4}× 6=\frac{9}{2}$.