《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 若关于x的一元二次方程$(m-1)x^{2}+5x+(m-1)(m-3)= 0$的常数项为0,则m的值等于(B).
A.1
B.3
C.1或3
D.0

答案： B

8. (数学文化)《九章算术》是我国古代的数学名著,其中“勾股”章有一题,大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺,门的对角线长10尺,那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺,根据题意,可列方程为$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$.

答案： $x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$

9. 根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式.
(1)如图,把长为40 cm、宽为30 cm的长方形铁片的四角截去一个大小相同的正方形,然后把每边折起来,做成一个无盖的盒子,使它的底面积(阴影部分)是原来铁片面积的一半,求盒子的高；
(2)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步？”设矩形田地的长为x步.

答案： 解:
(1)设盒子的高为x.
根据题意,得
$2(30-2x)(40-2x)=40×30$.
化为一般形式为$x^{2}-35x+150=0$.
(2)已知矩形田地的长为x步,那么宽为(x-12)步.
根据题意,得$x(x-12)=864$.
化为一般形式为$x^{2}-12x-864=0$.

10. 已知方程$(m-2)x^{|m+1|-1}+(m+4)x+6= 0$.
(1)当m取何值时,方程是一元一次方程？
(2)当m取何值时,方程是一元二次方程？

答案： 解:
(1)①当$m-2=0$,即$m=2$时,原方程可化为
$6x+6=0$,符合题意.
②当$m-2≠0$,$|m+1|-1=1$,即$m=1$或-3
时,原方程可化为$4x+6=0$或$-4x+6=0$,符合题意.
③当$m-2≠0$,$|m+1|-1=0$,即$m=0$或-2时,
原方程可化为$4x+4=0$或$2x+2=0$,符合题意.
综上,当$m=2,1,-3,0$或-2时,方程是一元一次方程.
(2)依题意得$m-2≠0$,$|m+1|-1=2$,
∴$m=-4$.
∴当$m=-4$时,方程是一元二次方程.

11. 已知关于x的方程$(a^{2}-8a+20)x^{2}+2ax+1= 0$. 求证：无论a取何值,该方程都是一元二次方程.

答案： 证明:
∵$a^{2}-8a+20=a^{2}-8a+16+4=(a-4)^{2}+4≠0$,
∴无论a取何值,该方程都是一元二次方程.