《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

15. 解方程：$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x+\frac{1}{x})-1 = 0$。

答案： 解:设x+1/x=y,则原方程可化为y²-2y-3=0.
解得y₁=3,y₂=-1.
当y=3时,x+1/x=3，
∴x₁=3+√5/2,x₂=3-√5/2；
当y=-1时,x+1/x=-1,无实数解.
经检验,x₁=3+√5/2,x₂=3-√5/2都是原方程的解.
∴原方程的解为x₁=3+√5/2,x₂=3-√5/2.

16. 【2023襄阳中考】关于$x的一元二次方程x^{2}+2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个根为$\alpha$,$\beta$,且$k^{2}= \alpha\beta + 3k$,求$k$的值。

答案： 解:
(1)b²-4ac=2²-4×1×(3-k)=-8+4k，
∵有两个不相等的实数根，
∴-8+4k＞0，
解得k＞2.
(2)
∵方程的两个根为α,β，
∴αβ=3-k.
∴k²=3-k+3k，
解得k₁=3,k₂=-1(舍去).
即k=3.

17. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + 1 = 0$有两个相等的实数根,求$\frac{ab^{2}}{(a - 2)^{2}+b^{2}-4}$的值。

答案： 解:
∵一元二次方程ax²+bx+1=0有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即b²-4a=0.
∴ab²/(a-2)²+b²-4=ab²/a²-4a+4+b²-4=
ab²/a²-4a+b²=ab²/a².
又
∵a≠0，
∴ab²/a²=b²/a=4a/a=4,即ab²/(a-2)²+b²-4的值为4.

18. 将一条长$20cm$的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成两个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$17cm^{2}$,那么这条铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于$12cm^{2}$吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由。

答案： 解:设一个正方形的周长为x cm,则另一个正方形的周长为(20-x)cm.
(1)由题意可列方程(x/4)²+(20-x/4)²=17.
整理,得x²-20x+64=0.解得x₁=16,x₂=4.
∴20-x₁=20-16=4,20-x₂=20-4=16.
∴这条铁丝剪成两段后的长度分别为16 cm和4 cm.
(2)不可能.理由如下:若两个正方形的面积之和等于12 cm²,则可列方程(x/4)²+(20-x/4)²=12.
整理,得x²-20x+104=0.
∵Δ=b²-4ac=(-20)²-4×1×104=-16＜0，
∴此方程无实数根.
∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm².