《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 正方形是轴对称图形,它有4条对称轴. 若正方形的边长为$a$,则它的对角线长为$\sqrt{2}a$,面积为$a^{2}$.

答案： 轴;4;$\sqrt{2}a$;$a^{2}$

2. 判定一个四边形是正方形,就要判定它既是矩形,又是菱形. 具体判定方法如下：
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形.

答案： 矩形;菱形;矩形;菱形;平行四边形;菱形;矩形

【例】$□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O$,且$AC\perp BD$,请添加一个条件：$AC = BD$,使得$□ ABCD$为正方形.

答案： $AC = BD$(答案不唯一)

1. 如图所示,正方形$OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O$重合,正方形$ABCD和正方形OMNP的边长都是2$,则图中重叠部分的面积是(A).

A.$1$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： A

2. 如图,菱形$ABCD的面积为120\mathrm{cm}^2$,正方形$AECF的面积为50\mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为(B).

A.$6\mathrm{cm}$
B.$13\mathrm{cm}$
C.$12\mathrm{cm}$
D.$8\mathrm{cm}$

答案： B

3. 如图,空格①②③④处可以填上条件“对角线长度相等”的是(D).

A.①②
B.①④
C.③④
D.②③

答案： D

4. 如图,$AC$,$BD是四边形ABCD$的对角线,点$E$,$F分别是AD$,$BC$的中点,点$M$,$N分别是AC$,$BD$的中点,连接$EM$,$MF$,$NF$,$NE$,要使四边形$EMFN$为正方形,则需要添加的条件是(A).

A.$AB = CD$,$AB\perp CD$
B.$AB = CD$,$AD = BC$
C.$AB = CD$,$AC\perp BD$
D.$AB = CD$,$AD// BC$

答案： A

5. 如图所示,将矩形纸片折叠,使$A点落在BC上的点F$处,折痕为$BE$,若沿$EF$剪下,则折叠部分是一个正方形,其数学原理是有一组邻边相等的矩形是正方形.

答案： 有一组邻边相等的矩形是正方形