《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

9. 如果$x^2 - x - 1= (x + 1)^0$,那么$x$的值为(C)。
A.2或-1
B.0或1
C.2
D.-1

答案： C

10. 若菱形$ABCD$的一条对角线长为6,边$AB的长是方程x^2 - 10x + 21 = 0$的一个根,则该菱形$ABCD$的周长为(B)。
A.12
B.28
C.12或28
D.56

答案： B

11. 下面是小明解一元二次方程$2x(x - 5)= 3(5 - x)$的过程：
解：原方程可化为$2x(x - 5)= -3(x - 5)$,……第一步
方程两边同除以$(x - 5)$,得$2x = -3$,……第二步
系数化为1,得$x = -\frac{3}{2}$。
小明的解答是否正确？若正确,请说明理由；若不正确,请指出从第几步开始出现错误,分析出现错误的原因,并写出正确的解答过程。

答案： 解:小明的解答不正确.从第二步开始出现的错误,其错误原因是等式的基本性质2用错.正确的解答过程如下:原方程化为2x(x-5)=-3(x-5),移项得2x(x-5)+3(x-5)=0,则(x-5)(2x+3)=0,则x-5=0,或2x+3=0,解得x₁=5,x₂=-$\frac{3}{2}$.

12. 已知$□ ABCD的两边AB$,$AD的长是关于x的方程x^2 - mx + \frac{m}{2}-\frac{1}{4}= 0$的两个根。
(1)$m$为何值时,$□ ABCD$是菱形？并求出菱形的边长；
(2)若$AB$边的长为2,求$□ ABCD$的周长。

答案： 解:
(1)由题意,得Δ=0,即(-m)²-4($\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$)=m²-2m+1=0,
∴m=1.此时原方程为x²-x+$\frac{1}{4}$=0,即(x-$\frac{1}{2}$)²=0,
∴x₁=x₂=$\frac{1}{2}$,即当m=1时,□ABCD为菱形,此时菱形ABCD的边长为$\frac{1}{2}$.
(2)将x=2代入原方程,得4-2m+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0,解得m=$\frac{5}{2}$.
∴原方程为x²-$\frac{5}{2}$x+1=0.解得x₁=2,x₂=$\frac{1}{2}$.
∴AD=$\frac{1}{2}$.故□ABCD的周长为2×(2+$\frac{1}{2}$)=5.

13. 阅读下面的例题与解答过程。
例题 解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$。
解：原方程可化为$|x|^2 - |x| - 2 = 0$。
设$|x| = y$,则$y^2 - y - 2 = 0$,
解得$y_1 = 2,y_2 = -1$。
当$y = 2$时,$|x| = 2$,$\therefore x = \pm 2$。
当$y = -1$时,$|x| = -1$,无实数解。
$\therefore原方程的解是x_1 = 2,x_2 = -2$。
在上面的解答过程中,我们把$|x|$看成一个整体,用字母$y$代替(即换元),使得问题简单化、明朗化,解答过程更清晰。这是解决数学问题中的一种重要方法——换元法。
请仿照上述例题的解答过程解下列方程：
(1)$x^2 - 2|x| = 0$；
(2)$x^2 - 2x - 4|x - 1| + 5 = 0$。

答案： 解:
(1)原方程可化为|x|²-2|x|=0.设|x|=t,则t²-2t=0.解得t₁=0,t₂=2.当t=0时,|x|=0,
∴x=0;当t=2时,|x|=2,
∴x=±2.
∴原方程的解是x₁=0,x₂=-2,x₃=2.
(2)原方程可化为|x-1|²-4|x-1|+4=0.设|x-1|=m,则m²-4m+4=0,解得m₁=m₂=2,即|x-1|=2.
∴x-1=±2.
∴x=1±2.
∴原方程的解是x₁=-1,x₂=3.