《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

11. 阅读下面材料,完成填空.
我们知道$x^{2}+6x+9$可以分解因式,结果为$(x + 3)^{2}$,其实$x^{2}+6x+8$也可以通过配方法分解因式,其过程如下：
$\begin{aligned}x^{2}+6x+8&= x^{2}+6x+9 - 9+8\\&=(x + 3)^{2}-1\\&=(x + 3+1)(x + 3 - 1)\\&=(x + 4)(x + 2)\end{aligned} $
(1)请仿照上述过程,完成以下练习：
$x^{2}+4x - 5= [x+($$-1$)][x+($5)]$；
$x^{2}-5x+6= [x+($$-2$)][x+($$-3$)]$；
$x^{2}-8x - 9= [x+($1)][x+($$-9$)]$。
(2)请观察横线上所填的数,这两个数与一次项系数、常数项有什么关系？
这两个数的和等于一次项系数,积等于常数项.

答案：
(1)$-1$;$5$;$-2$;$-3$;$1$;$-9$
(2)这两个数的和等于一次项系数,积等于常数项.

12. (中华优秀传统文化)【2023 泸州中考】端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际,某商场预测$A$粽子能够畅销.根据预测,每千克$A粽子节前的进价比节后多2$元,节前用$240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4\mathrm{kg}$.根据以上信息,解答下列问题：
(1)该商场节后每千克$A$粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进$A粽子400\mathrm{kg}$,且总费用不超过$4600$元,并按照节前每千克$20$元,节后每千

克

$16$元全部售出,那么该商场节前购进多少千克$A$粽子获得利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为$x$元,则每千克A粽子节前的进价为$(x+2)$元,根据题意,得$\frac{240}{x}-4=\frac{240}{x+2}$,解得$x_{1}=10$,$x_{2}=-12$.经检验$x_{1}=10$,$x_{2}=-12$都是原方程的解,但$x_{2}=-12$不符合实际,舍去.答:该商场节后每千克A粽子的进价为10元.
(2)设该商场节前购进$m\ kg$A粽子,则节后购进$(400-m)\ kg$A粽子,获得的利润为$w$元,根据题意,得$w=(20-12)m+(16-10)(400-m)=2m+2400$,
∴$\begin{cases}12m+10(400-m)\leq4600,\\m＞0,\end{cases}$解得$0＜m\leq300$.
∵$2＞0$,
∴$w$随$m$的增大而增大,
∴当$m=300$时,$w$取最大值,最大值为$w_{最大}=2×300+2400=3000$.答:节前购进300kgA粽子获得的利润最大,最大利润为3000元.